Fonction diviseur

En mathématiques, la fonction "somme des puissances des diviseurs", parfois abrégée en fonction diviseur^{[réf. souhaitée]} , notée $\sigma _{a}$ , est la fonction multiplicative qui à tout entier $n > 0$ associe la somme des puissances $a$ -ièmes des diviseurs positifs de $n$ , où $a$ est un nombre complexe quelconque :

\sigma _{a}(n)=\sum _{d|n}d^{a}.

Propriétés

La fonction $\sigma _{a}$ est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, $\sigma _{a}(mn)=\sigma _{a}(m)\sigma _{a}(n)$ . En effet, $\sigma _{a}$ est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance $a$ -ième et la fonction constante 1.
Si $p$ est un nombre premier alors $σ a (p k)$ est une somme partielle de série géométrique : $\forall k\in \mathbb {N} ,\quad \sigma _{a}(p^{k})=1+p^{a}+p^{2a}+\ldots +p^{ka}={\begin{cases}{\frac {p^{(k+1)a}-1}{p^{a}-1}}&{\text{si }}p^{a}\neq 1,\\k+1&{\text{si }}p^{a}=1.\end{cases}}$ (La condition $p a = 1$ équivaut à $a \in i(2π/log p)ℤ$ , ce qui est vrai pour tous les $p$ si $a$ est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, $\sigma _{a}$ n'est pas complètement multiplicative.
L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer $σ a (n)$ connaissant la décomposition en facteurs premiers de $n$ : ${\rm {si}}\quad n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\quad {\rm {alors}}\quad \sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{k_{i}}p_{i}^{ja}.$
La seconde des deux mêmes propriétés permet de calculer $σ a$ (p^k) par les polynômes de Tchebychev : soient $U k$ le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré $k$ , et $X k$ sa renormalisation, définie par $X k (T) = U k (T /2)$ . Alors[1] : ${\frac {\sigma _{a}(p^{k})}{p^{ak/2}}}=X_{k}\left({\frac {\sigma _{a}(p)}{p^{a/2}}}\right).$

Démonstration^{[réf. nécessaire]}

Notons $q = p a /2$ . Il s'agit de prouver que

$1+q^{2}+q^{4}+...+q^{2k}=q^{k}X_{k}(q+q^{-1})$

ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :

$1+T^{2}+T^{4}+...+T^{2k}=T^{k}X_{k}(T+T^{-1}).$ Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs. Or pour tout réel $θ$ non multiple de $π$ , en posant $t = e i θ$ , on a

$X_{k}(t+t^{-1})=X_{k}(2\cos \theta )=U_{k}(\cos \theta )={\frac {\sin((k+1)\theta )}{\sin \theta }}={\frac {t^{k+1}-t^{-(k+1)}}{t-t^{-1}}}$

donc

$t^{k}X_{k}(t+t^{-1})={\frac {t^{k+1}}{t}}{\frac {t^{k+1}-t^{-(k+1)}}{t-t^{-1}}}={\frac {t^{2(k+1)}-1}{t^{2}-1}}=1+t^{2}+t^{4}+...+t^{2k},$

ce qui conclut.

Par multiplicativité, on déduit du point précédent[1] : $\sigma _{a}(m)\sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}d^{a}\sigma _{a}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right)$ (où $(m, n)$ désigne le pgcd de $m$ et $n$ ) puis, par inversion de Möbius : $\sigma _{a}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\mu (d)d^{a}\sigma _{a}\left({\frac {m}{d}}\right)\sigma _{a}\left({\frac {n}{d}}\right)$ .
La série de Dirichlet associée à $\sigma _{a}$ s'exprime à l'aide de la fonction $ζ$ de Riemann : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)$ et l'on a la relation : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.$

Cas où a est un entier naturel

Fonction nombre de diviseurs

La fonction[2] $\sigma _{0}$ (« nombre de diviseurs »), également notée[3] $d$ , est aussi appelée fonction tau[4]^,[5] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée $τ$ . Elle compte le nombre de diviseurs positifs de $n$ :

d(n)=\tau (n)=\sum _{d|n}1=\operatorname {Card} \{1\leqslant d\leqslant n:d|n\}=\prod _{i=1}^{r}(k_{i}+1).

La suite $(\sigma _{0}(n))$ est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.

Fonction somme des diviseurs

La fonction sigma $\sigma _{1}$ est parfois notée $σ$ . On a

\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{k_{i}}p_{i}^{j}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{k_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.

Par exemple, si $n = pq$ pour deux nombres premiers distincts $p$ et $q$ , alors

$\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q){\text{ et }}\varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q)$ où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de $n$ est $s(n)=\sum _{d|n,d\neq n}d=\sigma (n)-n.$ L'entier $n$ est dit parfait si $s (n) = n$ , déficient si $s (n) < n$ et abondant si $s (n) > n$ .

La suite $(\sigma _{1}(n))$ est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.

Autres valeurs de $a$

La suite $(\sigma _{2}(n))$ est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS.

La suite $(\sigma _{3}(n))$ est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS.

Notes et références

Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
« d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, 1975 [détail de l’édition].
Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

J. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2^e série, vol. 3,‎ 1858, p. 63-68 (lire en ligne)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Divisor Function », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

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[Royer2-1] Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.

[2] « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.

[3] G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, 1975 [détail de l’édition].

[4] Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.

[5] Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.