Suite définie par récurrence

En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.

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Une relation de récurrence est une équation dans laquelle l'expression de plusieurs termes de la suite apparait, par exemple :

${\displaystyle u_{n+2}-{\sqrt {2u_{n+3}+u_{n}}}=0}$

ou

${\displaystyle u_{n^{2}}=u_{n}}$

ou

${\displaystyle (u_{n+2})^{2}-u_{n}-u_{n+1}=0}$

ou si l'on se place dans les suites de mots sur l'alphabet ${\displaystyle \{a,b\}}$ :

${\displaystyle \alpha _{n+1}=a\alpha _{n}bb}$

Si la relation de récurrence a une « bonne » présentation, cela permet de calculer l'expression du terme d'indice le plus élevé en fonction de l'expression des autres. Par exemple dans la dernière équation, si l'on admet que les ${\displaystyle u_{n}}$ sont des réels positifs, on peut écrire :

${\displaystyle u_{n+2}={\sqrt {u_{n+1}+u_{n}}}.}$

Une relation de récurrence et la donnée de « suffisamment » de termes initiaux permettent souvent de déterminer l'expression de tous les termes d'une suite (voir définition par récurrence).

Une relation de récurrence très simple est celle qui lie le terme d'indice n + 1 au terme d'indice n.

Exemple — On définit les puissances ${\displaystyle z^{n}}$ d'une variable ${\displaystyle z}$ par la relation de récurrence :

${\displaystyle z^{n+1}=z\;\times z^{n}}$ et l'initialisation ${\displaystyle z^{0}=1}$.

Exemple — La suite de Fibonacci est définie par la donnée de ${\displaystyle u_{0}=1}$ et ${\displaystyle u_{1}=1}$ et par la relation de récurrence ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}}$ ; cette relation de récurrence est dite « linéaire ».