Série des inverses des nombres premiers

La preuve suivante est due à Paul Erdős[2].

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel m tel que :

${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{+\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}.}$

Définissons ${\displaystyle N(x)}$ comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les m premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme kr² où k est un entier sans facteur carré.

Puisque seulement les m premiers nombres premiers peuvent diviser k, il y a au plus 2^m choix pour k. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ valeurs possibles pour r, cela nous donne :

${\displaystyle N(x)\leq 2^{m}{\sqrt {x}}.}$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et divisibles par au moins un nombre premier différent des m premiers est égal à ${\displaystyle x-N(x)}$.

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à x et divisibles par p est au plus x/p, nous obtenons :

${\displaystyle x-N(x)\leq \sum _{i=m+1}^{+\infty }{x \over p_{i}}<{x \over 2},}$

ou encore

${\displaystyle {x \over 2}<N(x)\leq 2^{m}{\sqrt {x}}.}$

Or cette inégalité est fausse pour x suffisamment grand, en particulier pour x supérieur ou égal à 2^{2m + 2}, d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série[3] :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{r=1}^{+\infty }{\frac {1}{r^{2}}}\prod _{p_{i}\leq x}\left(1+{\frac {1}{p_{i}}}\right)\leq 2\prod _{p_{i}\leq x}{\rm {e}}^{\frac {1}{p_{i}}}}$ donc

${\displaystyle \quad \sum _{p_{i}\leq x}{\frac {1}{p_{i}}}\geq \ln \left(\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}\right)-\ln 2}$[4],

ce qui confirme une partie[5] de l'intuition d'Euler :

« La somme de la série des inverses des nombres premiers […] est infiniment grande ; mais infiniment moins que la somme de la série harmonique […]. De plus, la première est comme le logarithme de la seconde[6]. »

Connaissant l'équivalent

${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}\right)\sim {\frac {1}{p}}}$ quand ${\displaystyle p\to +\infty }$,

il suffit de montrer la divergence de la série de terme général ${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}\right)}$, ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des ${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}>1}$. Or

${\displaystyle {\begin{matrix}\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}&=&\sup _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}&=&\sup _{k\in \mathbb {N} ^{*},s>1}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-s}}}&=&\sup _{s>1}\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{i}^{-s}}}\\&{\underset {(1)}{=}}&\sup _{s>1}\zeta (s)&{\underset {(2)}{=}}&\sup _{s>1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}&=&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}&=&+\infty \end{matrix}}}$

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{p_{n}}}\sim f(N):=\ln \ln N}$. On pourrait penser que cela implique que ${\displaystyle {\frac {1}{p_{N}}}\sim f'(N)}$ et donc que ${\displaystyle p_{N}\sim {N\ln N}}$, mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiers[7].

Soit x un réel positif. Le développement asymptotique à deux termes de la série des inverses des nombres premiers est[8]:

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1)}$ où ${\displaystyle M=\gamma +\sum _{i=1}^{+\infty }\left(\log \left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)+{\frac {1}{p_{i}}}\right)}$ est la constante de Meissel-Mertens[alpha 1] et ${\displaystyle \gamma }$ la constante d'Euler.