Équivalent

Soient ${\displaystyle u_{n}}$ et ${\displaystyle v_{n}}$ deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que ${\displaystyle u_{n}}$ est équivalente à ${\displaystyle v_{n}}$, et on note ${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}}$, si la suite ${\displaystyle u_{n}-v_{n}}$ est négligeable devant la suite ${\displaystyle v_{n}}$.

En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit : ${\displaystyle u_{n}=v_{n}+o(v_{n})}$, et se traduit par l'existence d'une suite ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ qui tend vers zéro et vérifie ${\displaystyle u_{n}=(1+\varepsilon _{n})v_{n}}$ à partir d'un certain rang.

• Un équivalent de la somme partielle ${\displaystyle H_{n}}$ d'ordre ${\displaystyle n}$ de la série harmonique est ${\displaystyle \ln(n).}$
• Un équivalent célèbre est donné par la formule de Stirling : ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over e}\right)^{n}.}$
• Soit π la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Le théorème des nombres premiers affirme que ${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln n}}.}$

• Dans le cas particulier où la suite ${\displaystyle v_{n}}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :

${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=1.}$

• En particulier si ${\displaystyle \ell }$ est une constante non nulle :

${\displaystyle u_{n}}$ converge vers ${\displaystyle \ell }$ si et seulement si elle est équivalente à la suite constante égale à ${\displaystyle \ell }$.

• La relation « être équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. complexes) qui sont non nulles à partir d'un certain rang.

Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans K = ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel ou +∞ ou –∞).

On dit que f est équivalente à g en a, et on note ${\displaystyle f\sim _{a}g}$ (ou simplement ${\displaystyle f\sim g}$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$ définie sur un voisinage V de a telle que :

• ${\displaystyle \lim _{a}\varepsilon =0}$
• ${\displaystyle \forall x\in (V\cap A)\setminus \{a\},~f(x)=(1+\varepsilon (x))g(x).}$

Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.

• Dans le cas particulier où g est non nulle au voisinage de a, on a :
  ${\displaystyle f\sim _{a}g\Leftrightarrow \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$
• En particulier, si ${\displaystyle \ell }$ est un élément non nul de K :
  ${\displaystyle f\sim _{a}\ell \Leftrightarrow \lim _{a}f=\ell .}$
• La relation ${\displaystyle \sim _{a}}$ est une relation d'équivalence.
• Si f et g sont à valeurs réelles et si elles sont équivalentes en a, alors
  • elles ont même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a,
  • si ${\displaystyle \lim _{a}g=l}$ avec ${\displaystyle l\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ alors ${\displaystyle \lim _{a}f=l}$.
• En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation « être équivalent à ». Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

• On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
  • définies sur une partie A d'un espace topologique autre que ℝ ;
  • à valeurs dans un espace vectoriel normé sur K, ou même dans un espace vectoriel topologique sur un corps valué K autre que ℝ ou ℂ.
• La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.