Fonction négligeable

En mathématiques, la notion de prépondérance ou de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la première fonction est prépondérante devant la deuxième ou que la deuxième fonction est négligeable devant la première. Cette notion fait partie, comme la domination et l'équivalence, des relations de comparaison.

En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.

Définition en mathématiques

Soient $I$ une partie de $\mathbb {R}$ , $a$ un élément de ℝ = ℝ ∪ ${-\infty, +\infty}$ adhérent à $I$ , et $f$ et $g$ deux applications de $I$ vers $\mathbb {R}$ .

On dit que $f$ est négligeable devant $g$ (ou que $g$ est prépondérante devant $f$ ) au voisinage de $a$ , si :

il existe une fonction

\varepsilon

de limite nulle en

a

telle que, sur un voisinage de

a

,

f=\varepsilon g

,

ce qui se traduit :

si $a\in \mathbb {R}$ , par : $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$ ;
si $a=+\infty$ (resp. $-\infty$ ), par : $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[A,+\infty \right[\cap I{\text{ (resp. }}\left]-\infty ,A\right]\cap I)\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$ .

Une caractérisation plus commode, dans le cas où $g$ est (sauf peut-être en $a$ ) non nulle sur un voisinage de $a$ , est :

f

est négligeable devant

g

au voisinage de

a

si et seulement si :

\lim _{x\rightarrow a,\;x\not =a}{f(x) \over g(x)}=0

.

On écrit alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ , qui se lit « $f$ est un petit o de $g$ au voisinage de $a$ ». C'est une des notations de Landau.

Propriétés

Si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ alors $f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ .
Si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1})$ et $f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})$ alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1}g_{2})$ ,
en particulier, si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $f_{2}$ est bornée au voisinage de $a$ , alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ .
Si $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)$ , ou si $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$ , alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$
en particulier, $\,{\underset {a}{=}}\,o$ est transitive.
$f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Leftrightarrow f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Leftrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,g+o(g)$ .

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

Échelle de comparaison

Une échelle de comparaison $E_{a}$ est[1] une famille de fonctions définies au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ), non équivalentes à 0 en $a$ , telle que :

\forall (f,g)\in {E_{a}}^{2}\quad f\neq g\Rightarrow \left(f\,{\underset {a}{=}}\,o(g){\text{ ou }}g\,{\underset {a}{=}}\,o(f)\right)

.

Définition

Soient $f$ une fonction définie dans un voisinage $V$ de $a$ (sauf peut-être en $a$ ), ne s'annulant pas sur $V\setminus \{a\}$ , et $E_{a}$ une échelle de comparaison en $a$ .

On dit que $f$ admet la fonction $g\in E_{a}$ comme partie principale par rapport à l'échelle $E_{a}$ s'il existe un réel $A$ non nul tel que $f\,{\underset {a}{\sim }}\,Ag$ (ou $f\,{\underset {a}{=}}\,Ag+o(g)$ )[2].

Propriétés

Unicité en cas d'existence
Soient $f_{1}$ et $f_{2}$ admettant respectivement $g_{1}$ et $g_{2}$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$ .

La partie principale de $f_{1}f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$ est la même que celle de $g_{1}g_{2}$ .
Si $g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})$ alors $g_{2}$ est la partie principale de $f_{1}+f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$ .
Si $g_{1}=g_{2}$ et $A_{1}+A_{2}\neq 0$ alors $(A_{1}+A_{2})g_{1}$ est la partie principale de $f_{1}+f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$ .

Comparaison pour les suites

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur $I=\mathbb {N}$ , auquel $a=+\infty$ est adhérent.

Par conséquent, une suite $(u_{n})$ de nombres réels est négligeable devant une suite réelle $(v_{n})$ si et seulement si :

il existe une suite

(\varepsilon _{n})

de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang,

u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}

ou encore :

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad |u_{n}|\leq \varepsilon |v_{n}|

,

ce qui, lorsque $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

\lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=0

.

On note : $u_{n}=o(v_{n})$ .

Références

Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques, Techniques de l'ingénieur, 2004 (lire en ligne), p. 4.
Randé 2004, p. 5.

Voir aussi

Propriété N de Luzin

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[1] Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques, Techniques de l'ingénieur, 2004 (lire en ligne), p. 4.

[2] Randé 2004, p. 5.