Modèle de Ramsey

[3] Il existe quatre marchés dans cette économie que l'on considère à l'équilibre quel que soit t.

• L'équilibre sur le marché des biens s'écrit ${\displaystyle Y_{t}=N_{t}c_{t}+I_{t}}$, le bien produit peut être consommé ou investi
• sur le marché du capital ${\displaystyle s_{t}N_{t}=K_{t+1}}$, l'épargne agrégée permet la constitution du capital de demain.
• sur le marché du travail ${\displaystyle N_{t}=L_{t}}$, l'offre de travail, c'est-à-dire le nombre d'habitants à la date t égalise la demande de travail des firmes.

À ces équations d'équilibre on peut ajouter l'équation d'accumulation du capital ${\displaystyle K_{t+1}=I_{t}+(1-\delta )K_{t}}$. Il s'agit d'une équation comptable (toujours vraie). Elle stipule que le capital de demain dépend de ce qui est investi aujourd'hui et du capital d'aujourd'hui qui ne sera pas devenu obsolète à la prochaine période. On a également ${\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},L_{t})}$ on définit par ailleurs ${\displaystyle k_{t}\equiv {\frac {K_{t}}{L_{t}}}}$ comme étant la quantité de capital par tête. L'équation d'équilibre sur le marché des biens et l'équation d'accumulation du capital nous permet d'écrire la contrainte de ressource de l'économie :${\displaystyle F(K_{t},L_{t})=N_{t}c_{t}+(1+n)K_{t+1}-(1-\delta )K_{t}}$ , soit en termes de capital par tête :${\displaystyle F(k_{t},1)=c_{t}+(1+n)k_{t+1}-(1-\delta )k_{t}\Leftrightarrow {f(k_{t})=c_{t}+(1+n)k_{t+1}-(1-\delta )k_{t}}}$.

Comme nous l'avons vu précédemment le programme du consommateur s'écrit

${\displaystyle \max _{c_{t}}V_{t}\quad {s/c}\quad c_{t}+s_{t}=w_{t}+{\frac {1+r_{t}}{1+n}}s_{t-1}}$

en substituant la contrainte dans la fonction objectif on obtient la condition de premier ordre suivante:

${\displaystyle U'(c_{t})={\frac {1+r_{t}}{1+\rho }}U'c_{t+1}}$

Cette condition est appelée règle de Keynes-Ramsey. Elle s'interprète de la façon suivante: un euro supplémentaire consacré à la consommation présente entraîne un supplément d'utilité ${\displaystyle U'(c_{t})}$ aujourd'hui. Le consommateur peut également épargner cet euro, il obtiendra demain ${\displaystyle 1+r_{t}}$ euros, qui, consacrés à la consommation de demain, lui rapporteront un supplément d'utilité de ${\displaystyle (1+r_{t})U'(c_{t+1})}$ qui, actualisé au taux d'escompte subjectif de l'agent, donne ${\displaystyle {\frac {1+r_{t}}{1+\rho }}U'(c_{t+1})}$. La règle de Keynes Ramsey indique que l'agent est indifférent entre ces deux solutions à l'équilibre. Petite remarque :

${\displaystyle r_{t}\geq \rho \Rightarrow {U'(c_{t})}\geq {U'(c_{t+1})}\Rightarrow {c_{t}}\leq {c_{t+1}}}$

L'équation précédente implique que si à la date t le taux d'intérêt réel est supérieur au taux d'intérêt subjectif de l'agent, alors la consommation de demain sera plus importante que celle d'aujourd'hui.

À chaque date t il existe une firme qui maximise ses profits. Son programme s'écrit ${\displaystyle \max _{K_{t};L_{t}}\Pi =F(K_{t},L_{t})-w_{t}L_{t}-(r_{t}+\delta )K_{t}}$ les conditions de premier ordre sont données par

${\displaystyle \partial _{K}\Pi =0\Leftrightarrow \partial _{K}F(K_{t},L_{t})=r_{t}+\delta }$

${\displaystyle \partial _{L}\Pi =0\Leftrightarrow \partial _{l}F(K_{t},L_{t})=w_{t}}$

soit par tête

${\displaystyle f'(k_{t})=r_{t}+\delta }$

${\displaystyle w_{t}=f(k_{t})-f'(k_{t})k_{t}}$

La condition de Keynes-Ramsey peut ainsi se réécrire

${\displaystyle U'(c_{t})={\frac {1+f'(k_{t})-\delta }{1+\rho }}U'(c_{t+1})}$

La dynamique de l'économie est donc décrite par un système de deux équations de récurrence en ${\displaystyle k_{t},c_{t}}$

${\displaystyle U'(c_{t})={\frac {1+f'(k_{t})-\delta }{1+\rho }}U'(c_{t+1})}$ (1)

${\displaystyle (1+n)k_{t+1}=f(k_{t})+(1-\delta )k_{t}-c_{t}}$ (2)

On définit une isocline comme étant l'ensemble des points du plan (k,c) tel que

${\displaystyle k_{t}=k_{t+1}~et~c_{t}=c_{t+1}}$

L'équation (1) nous donne

${\displaystyle c_{t}=c_{t+1}\Rightarrow {f'(k_{t})=\rho +\delta }}$

L'équation (2) nous donne

${\displaystyle k_{t}=k_{t+1}\Rightarrow {c=f(k)-(\delta +n)k}}$

Il existe donc un unique état stationnaire dans l'économie décrite par le modèle de Ramsey. Celui-ci est accessible en sentier selle c'est-à-dire que quel que soit ${\displaystyle k_{0}}$ donné, il existe un unique niveau de consommation initiale qui permet d'atteindre cet équilibre. Le cas échéant, l'économie diverge.

Le lieu géométrique pour lequel la consommation ne dépend plus du temps est sur le plan (k,c) une droite qui croise l'axe des abscisses au point ${\displaystyle k=k^{c_{t}=c_{t+1}}}$. Le lieu géométrique pour lequel le capital par tête est stationnaire est définie par la fonction ${\displaystyle c(k)=f(k)-(\delta +n)k}$ celle-ci s'annule en ${\displaystyle k=0}$ et ${\displaystyle {\frac {f(k)}{k}}=\delta +n}$.

On définit par ailleurs le critère de la règle d'or comme étant la quantité de capital par tête qui maximise la consommation à l'état stationnaire. Formellement :

${\displaystyle k^{or}=\operatorname {arg} \max c(k)}$

Il s'agit d'un critère pour juger de la qualité de l'état stationnaire atteint par l'économie. Si le capital à l'état stationnaire est inférieur à celui de la règle d'or, alors l'économie est en sous-accumulation. Pour améliorer la situation de l'ensemble des générations futures, il faut que la génération d'aujourd'hui épargne plus, ce qui réduit son bien-être (utilité). Une économie en sous-accumulation est optimal au sens de Pareto (on rappelle qu'une situation est efficace au sens de Pareto s'il n'est pas possible d'améliorer la situation d'un individu sans détériorer celle d'un autre). En revanche si une économie est en sur-accumulation (le capital par tête est supérieur à celui de la règle d'or) il suffit de réduire l'épargne de la génération présente et donc d'améliorer leur bien-être pour améliorer le bien-être de toutes les générations. Une économie en sur-accumulation n'est pas optimale au sens de Pareto. Ce cas est possible dans un modèle à générations imbriquées. Ici on a:

${\displaystyle k^{or}\Rightarrow {f'(k)=\delta +n}}$ et ${\displaystyle k^{c_{t}=c_{t+1}}\Rightarrow {f'(k)=\delta +\rho }}$ or par hypothèse

${\displaystyle \rho \geq {n}\Rightarrow {k^{or}}\geq {k^{c_{t}=c_{t+1}}}}$

Le modèle de Ramsey n'est jamais en sur-accumulation, l'équilibre stationnaire est donc optimal au sens de Pareto.

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