Maryam Mirzakhani

Maryam Mirzakhani intègre le lycée Farzanegan (en) de Téhéran, un lycée pour jeunes filles surdouées dépendant du SAMPAD, l’« Organisation pour le développement des talents exceptionnels », ou NODET[5]. Elle est, en 1994 à Hong Kong, lauréate pour la deuxième année des Olympiades internationales de mathématiques (score de 41 points sur 42[6]). À Toronto en 1995, elle a un score parfait[7]. Ces résultats lui ouvrent les portes de la très sélective université de technologie de Sharif à Téhéran, où elle obtient en 1999 un B.Sc. en mathématiques.

Le 17 mars 1998, après la 22^e compétition de mathématiques pour étudiants à l'université Shahid Chamran d'Ahvaz, elle se retrouve dans un accident d'autobus où plusieurs jeunes mathématiciens perdent la vie[8].

En 1999, elle obtient un bachelor en science en mathématique à l'université de technologie de Sharif. Elle attire l'attention lors de ses études de l'American Mathematical Society pour ses travaux consistant à formuler une preuve simple du théorème de Schur[9]. Elle va ensuite aux États-Unis et obtient un doctorat à l'université d'Harvard en 2004, où elle est supervisée par le lauréat de la Médaille Fields Curtis T. McMullen[10].

Elle devient maître de conférences à Princeton en 2004[11] puis nommée, en septembre 2008 (à 31 ans), professeure de mathématiques à Stanford[12].

Elle meurt le 14 juillet 2017, à 40 ans, des suites d'un cancer du sein[13]^,[14].

Enfant, son passe-temps favori est la lecture de romans et elle rêve de devenir écrivaine[15]. Son frère aîné lui propose un ouvrage sur Carl Friedrich Gauss dans lequel il explique comment effectuer facilement la somme de tous les entiers de 1 à 100. Séduite par cette méthode, Maryam Mirzahani poursuit son investigation et découvre l'art du raisonnement mathématique à travers le théorème local de Gauss, « qui repère localement un point sur une surface quelconque par un nombre complexe, et ramène la dimension deux réelle à la dimension un complexe. Les surfaces deviennent de dimension un. Ce sont des courbes complexes[16]. » On passe de la géométrie à la géographie[17]^,[14]. Elle complète son apprentissage des théorèmes de Gauss par les théories de Riemann et les surfaces complexes, qu'elle développera au point de se voir attribuer la médaille Fields[18].

À Harvard, en 2004, elle présente un doctorat de mathématiques ; son directeur de thèse est Curtis McMullen, lauréat de la médaille Fields en 1998. On parle de chef-d’œuvre[19] : non seulement elle résout deux problèmes majeurs de mathématiques, mais de plus elle les relie[20].

Elle s’intéresse aux surfaces de Riemann. « Riemann étudie les surfaces, non pas comme des objets individuels, mais comme appartenant à des familles de surfaces se déduisant les unes des autres par déformations. Ceci divise essentiellement les surfaces selon leur genre[18].»

Elle poursuit l'étude de ces surfaces, approfondissant les résultats de Riemann. Les champs de recherche de Maryam Mirzakhani comprennent divers domaines mathématiques : l'espace de Teichmüller, la géométrie hyperbolique, la théorie ergodique, l'espace de modules et la géométrie symplectique[21]^,[22]. Elle montre[23] en 2008 que, sur une surface, le nombre N_s(L) des géodésiques fermées simples (i.e. ne se recoupant pas) de longueur inférieure à L croît comme c·L^6g-6+2n où c est une constante[24] et g et n des paramètres topologiques. Elle produit une démonstration élégante d'une conjecture proposée par le physicien Edward Witten dans le cadre de la théorie des cordes.

Plus récemment, elle démontre, avec Alex Eskin, le théorème dit « de la baguette magique »[24] relatif aux billards mathématiques. Ils étudient la dynamique d'un mobile lancé selon une tangente à une surface de Riemann. En considérant la variable « temps » comme un nombre complexe, ils montrent[25] que la trajectoire du mobile est alors une courbe complexe, c’est-à-dire une surface, de comportement dynamique plus simple que prévu[18]. Ce travail généralise un résultat obtenu par une autre mathématicienne de renom, Marina Ratner ; les deux femmes décèdent à une semaine d’intervalle.

En 2014, elle reçoit la médaille Fields « pour ses contributions exceptionnelles à la dynamique et la géométrie des surfaces de Riemann et de leurs espaces de modules ». Elle est la première femme — et la première personne de nationalité iranienne — à la recevoir[18]. La cérémonie a lieu le 13 août à Séoul au congrès international des mathématiciens. Au moment de la remise du prix, Jordan Ellenberg décrit ses recherches ainsi :

« [Son] travail mêle habilement dynamique et géométrie. Elle étudie, entre autres, les billards. Mais maintenant, dans un mouvement très caractéristique des mathématiques modernes, elle devient une sorte de méta : elle ne considère pas seulement une table de billard, mais l'univers de toutes les tables de billard possibles. Et le type de dynamique qu'elle étudie ne concerne pas directement le mouvement des billards sur la table, mais plutôt une transformation de la table de billard elle-même, qui change de forme d'une manière régie par des règles ; si vous voulez, la table elle-même se déplace comme une étrange planète autour de l'univers de toutes les tables possibles... Ce n'est pas le genre de choses qu'on fait pour gagner au billard, mais c'est le genre de choses qu'on fait pour gagner une médaille Fields. Et c'est ce qu'il faut faire pour exposer la dynamique au cœur de la géométrie, car il ne fait aucun doute qu'elle est là »[26].

En 2014, le président iranien Hassan Rouhani la félicite pour avoir gagné le prix le plus important en mathématique[27].

Extraits de l'introduction (alinéa 1) et de la conclusion (alinéa 2) d'un document de l'Union mathématique internationale consacré à la mathématicienne à l'occasion de la remise de la médaille Fields[28] :

« Maryam Mirzakhani a apporté des contributions frappantes et très originales à la géométrie et à l'étude des systèmes dynamiques. Son travail sur les surfaces de Riemann et sur les espaces de modules met en relation plusieurs disciplines mathématiques — la géométrie hyperbolique, l'analyse complexe, la topologie, et la dynamique — et les influence à son tour. Elle a bénéficié d'une vaste reconnaissance pour ses premiers résultats en géométrie hyperbolique, et son travail le plus récent constitue une avancée majeure dans l'étude des systèmes dynamiques. »

« À cause de sa complexité et de son inhomogénéité, l'espace des modules a souvent semblé ne pas être propice à une étude directe. Mais pas aux yeux de Mirzakhani. Elle est dotée d'une forte intuition géométrique qui lui permet d'appréhender directement la géométrie de l'espace de modules. Familière avec une remarquable diversité de techniques mathématiques et de cultures mathématiques, elle incarne un équilibre rare entre des performances techniques superbes, une audacieuse ambition, une vision qui porte loin et une curiosité profonde. L'espace des modules est un monde où de nombreux territoires attendent d'être découverts. »

— Union mathématique internationale, « The work of Maryam Mirzakhani »

Les publications de Maryam Mirzakhani sont en anglais.

• « Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces », dans Inventiones mathematicae, vol. 167, 1, Springer, 2007, p. 179-222, dernière modification : 12 juillet 2005
• « Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli spaces of curves », dans Journal of the American Mathematical Society, 2007
• « Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces », Ann. Math., 2008
• Ergodic theory of the earthquake flow, International Mathematics Research Notices, 2008
• (avec Alex Eskin) Invariant and stationary measures for the SL2(R) action on moduli space, Publications mathématiques de l'IHÉS 2018 — Sommaire.
• (avec Alex Eskin et Amir Mohammadi), Isolation, equidistribution, and orbit closures for the SL2(R) action on moduli space, Annals of Mathematics, 2015 — Sommaire[29].