Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le à Breselenz, Royaume de Hanovre, mort le à Selasca, hameau de la commune de Verbania, Italie, est un mathématicien allemand. Influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l'analyse, la géométrie différentielle et le calcul, certaines d'entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale[1],[2].

Pour les articles homonymes, voir Riemann.

Bernhard Riemann
Bernhard Riemann
Naissance
Breselenz (Royaume de Hanovre)
Décès
Selasca, commune de Verbania (Italie)
Nationalité Allemand
Institutions Université de Göttingen
Diplôme Université de Göttingen, université de Berlin
Renommé pour Hypothèse de Riemann généralisée
Intégrale de Riemann
Sphère de Riemann
Théorème de représentation de Riemann
Tenseur de Riemann
Somme de Riemann
Intégrale de Stieltjes-Riemann
Équations de Cauchy-Riemann
Formule de Riemann-Hurwitz
Théorème de Riemann-Lebesgue
Théorème de réarrangement de Riemann
Fonction zêta de Riemann
Problème de Riemann

Biographie

Enfance

Bernhard Riemann est né à Breselenz, un village du royaume de Hanovre. Son père, Friedrich Bernhard Riemann, pasteur luthérien[1], a combattu l'armée napoléonienne. Sa mère, Charlotte Ebell, meurt avant que ses enfants aient atteint l’âge adulte. Les circonstances affectent profondément les Riemann qui ont souffert toute leur vie de sévères privations. Comme en témoigne plus tard le mathématicien, son enfance, avec son frère et ses quatre sœurs, bien que pleine d'amour, est marquée par le manque de nourriture et de soins médicaux. Ces carences sont probablement la cause du décès prématuré de Bernhard, ainsi que de celui de son frère et de ses sœurs, tous morts à peu près au même âge. Dans un premier temps, les enfants Riemann reçoivent un enseignement primaire à domicile. Cependant, Bernhard révèle très vite un grand talent pour les mathématiques : il résout parfaitement tous les problèmes arithmétiques que lui pose son père, mais invente aussi lui-même des problèmes toujours plus complexes et variés[3].

Éducation

Lorsque Bernhard a dix ans, son père engage un professeur particulier pour qu'il enseigne à son fils la géométrie et l'arithmétique. En 1840, Bernhard s'établit à Hanovre pour vivre chez sa grand-mère et aller au Lyceum (collège) qu'il intègre directement en troisième année. Après le décès de sa grand-mère en 1842, il va à Lunebourg pour continuer ses études secondaires[1]. Au Johanneum Gymnasium (lycée), ses professeurs sont surpris par ses capacités à résoudre des problèmes complexes en mathématique. Riemann a son premier contact avec les mathématiques supérieures grâce au professeur Schmalfuss qui lui donne libre accès à sa bibliothèque personnelle. En 1846, âgé de 19 ans, il intègre l'université de Göttingen grâce à l'argent de sa famille, et commence à étudier la philosophie et la théologie pour devenir pasteur afin de financer sa famille. Il étudie la Bible intensivement, mais il est distrait par les mathématiques. Après avoir assisté aux cours de Carl Gauss, il ne peut se soustraire à sa vocation et sollicite l'autorisation de son père pour étudier les mathématiques. Riemann excelle à l'université de Göttingen, mais il n'y reste pas longtemps puisqu'il rejoint en 1847 l'université de Berlin pour y parfaire sa formation dans les matières où Göttingen ne dispose pas d'enseignants suffisamment compétents, où il a entre autres comme professeurs Jacobi, Steiner et Dirichlet. En 1849, il retourne à Göttingen, où il commence sa thèse de doctorat, sous la direction de Gauss. En décembre 1851, il soutient sa thèse intitulée Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse[4] qui pose les bases de la topologie moderne et fait l'unanimité du jury. Gauss dit de lui, après la défense de sa thèse « La dissertation présentée par Monsieur Riemann démontre de façon convaincante que celui-ci a effectué des recherches minutieuses et approfondies sur les parties du thème traitées dans la dissertation, qu'il est doué d'un esprit créatif, véritablement mathématique, et qu'il possède une originalité admirable et féconde »[5],[6].

Carrière

Sa carrière scientifique ne dura qu'un peu plus de dix ans : elle débute en 1849, lorsqu'il commence sa thèse doctorale, et se termine prématurément au début des années 1860, avec la rédaction de ses derniers articles. Au début des années 1850, le souhait le plus cher de Riemann est de devenir professeur de mathématiques ou de physique à l'université de Göttingen. Dans ce but, il doit produire un travail supplémentaire appelé Habilitationsschrift [7] qui consiste à effectuer des recherches préliminaires sur trois sujets très différents les uns des autres qu'il choisit lui-même. Au tout début de 1854, il est en mesure de communiquer à son maître —  Carl Gauss — ses premier, deuxième et troisième choix. Gauss voit d'emblée que la troisième proposition — une reformulation de la géométrie — contient en germe une idée importante et innovante à laquelle il avait déjà réfléchi, même s'il n'avait jamais rien publié à ce sujet. En soutenant cette thèse le , Riemann fonde la géométrie riemannienne qui servira de cadre mathématique à la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein[8].

Après avoir soutenu sa thèse d'habilitation en 1854, Riemann prend du repos à Quickborn où il vit toujours avec ses parents, son frère et certaines de ses sœurs. En septembre, il commence à travailler à l'université de Göttingen en qualité d'enseignant rémunéré. Il est désormais en mesure, malgré ses faibles revenus, d'aider financièrement tous les membres de sa famille. Le , Gauss décède ; preuve du respect que Riemann a gagné à Göttingen, certains collègues suggèrent qu'il reprenne la chaire du mathématicien allemand, mais la chaire est proposée à Dirichlet, qui l'accepte et quitte Berlin pour occuper son nouveau poste. Riemann obtient cependant un salaire régulier et poursuit ses recherches en physique. Il publie en 1855 un article sur « La théorie des anneaux colorés de Nobili » et, peu de temps après, il est atteint de surmenage, souffre de dépression nerveuse et doit, sur avis médical, passer quelques mois de repos dans la région montagneuse du Harz. En 1857, il réintègre l'université[9].

Le , à la suite de la mort de Dirichlet, il est promu à la tête du département de mathématiques de l'Université de Göttingen. Peu de temps après, il est élu membre de l'Académie des sciences de Berlin[10].

Dernières années
La pierre tombale de Riemann à Biganzolo dans le Piémont, en Italie.

En , il épouse Elise Koch, une amie proche de ses sœurs. En , il contracte une pleurite qui évolue rapidement en tuberculose. Sa santé ne s'améliorant pas avec le temps, il se rend avant l'hiver en Italie où il recouvre quelque peu la santé. En , il retourne à Göttingen pour y reprendre ses devoirs académiques mais il est contraint de repartir quelques mois plus tard dans la péninsule italienne. Durant ce nouveau séjour méditerranéen, naît sa fille Ida. Deux ans plus tard, en , Riemann revient pour la dernière fois de sa vie à Göttingen. Il se réunit avec quelques-uns de ses collègues et met de l'ordre dans ses affaires avant de retourner en Italie. Il quitte Göttingen avant que les armées de Hanovre et de Prusse s'affrontent en 1866[11]. Il meurt de tuberculose en Italie, à Selasca (aujourd'hui un hameau de Verbania sur le lac Majeur), où il est enterré au cimetière de Biganzolo (Verbania).

Riemann était un chrétien dévoué, le fils d'un ministre protestant, et a vu sa vie en tant que mathématicien comme une autre manière de servir Dieu. Au cours de sa vie, il a tenu étroitement à sa foi chrétienne et l'a considérée comme l'aspect le plus important de sa vie. Au moment de sa mort, il récitait la Prière du Seigneur avec sa femme et mourut avant qu'ils aient fini la prière[12]. Pendant ce temps, à Göttingen, sa femme de ménage a jeté quelques-uns des papiers dans son bureau, y compris beaucoup de travail inédit. Riemann a refusé de publier un travail incomplet, et certaines idées profondes ont peut-être été perdues pour toujours[11]. La pierre tombale de Riemann à Biganzolo (Italie) se réfère au Huitième chapitre de l'Épître aux Romains dans le Nouveau Testament de la Bible chrétienne (« Et nous savons que toutes choses concourent au bien de ceux qui aiment Dieu, à ceux qui sont appelés selon son dessein »)

Ici repose en Dieu Georg Friedrich Bernhard Riemann
Professeur à Göttingen
né à Breselenz, Allemagne 17 septembre 1826
mort à Selasca, Italie 20 juillet 1866
Pour ceux qui aiment Dieu, toutes choses doivent travailler ensemble pour le meilleur[13],[14].

Travaux

Dans sa thèse, présentée en 1851, Riemann met au point la théorie des fonctions d'une variable complexe, introduisant notamment le concept des surfaces qui portent son nom, notamment la sphère de Riemann. Il approfondira cette théorie en 1857, en faisant progresser la théorie des fonctions abéliennes.

Il est le premier à suggérer d'utiliser des dimensions supérieures à trois ou quatre pour décrire la réalité physique[15]. Lors de sa soutenance d'habilitation, en 1854, orienté par Gauss, il donne un exposé, intitulé Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen), qui jette les bases de la géométrie différentielle. Il y introduit la bonne façon d'étendre à n dimensions les résultats de Gauss lui-même sur les surfaces. Cette soutenance a profondément changé la conception de la notion de géométrie, notamment en ouvrant la voie aux géométries non euclidiennes et à la théorie de la relativité générale.

On lui doit également d'importants travaux sur les intégrales, poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu'on appelle aujourd'hui les intégrales de Riemann. Intéressé par la dynamique des fluides, il jette les bases de l'analyse des équations aux dérivées partielles de type hyperbolique et résout un cas particulier de ce qu'on appelle maintenant le problème de Riemann en introduisant les invariants de Riemann.

En 1859, Riemann, qui vient juste d'être nommé professeur à Göttingen et à l'Académie des Sciences de Berlin, publie un article, « Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée ». Il y définit la fonction zêta, en reprenant les travaux d'Euler et en les étendant aux nombres complexes, et utilise cette fonction dans le but d'étudier la répartition des nombres premiers. La célèbre hypothèse de Riemann sur les zéros non triviaux de la fonction zêta, formulée dans cet article, n'est toujours pas démontrée et fait partie des fameux 23 problèmes de Hilbert ainsi que des 7 problèmes du millénaire.

Riemann est par ses travaux, à plusieurs égards, un successeur de Leonhard Euler[16].

On doit à aussi à Bernhard Riemann d'importants travaux en physique[17].

Édition

Notes et références
  1. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Bernhard Riemann », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..
  2. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 8-19-138
  3. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 19-20
  4. Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe.
  5. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 20-22/23
  6. (en) « Bernhard Riemann », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
  7. Thèse d'habilitation.
  8. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 8-49-52
  9. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 111-112
  10. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 135
  11. D'après Marcus du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers, 491 pages, éditions du Seuil (2007), coll. Points Sciences.
  12. « Christian Mathematician – Riemann » (consulté le )
  13. Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin 2018, p. 137-138
  14. « Riemann’s Tomb » (consulté le )
  15. Werke, p. 268, edition of 1876, cited in Pierpont, Non-Euclidean Geometry, A Retrospect
  16. A. Papadopoulos, Looking backward:  From Euler to Riemann, In:  From Riemann to differential geometry and relativity (L. Ji, A. Papadopoulos and S. Yamada, ed.)  Berlin: Springer, p. 1-93.
  17. A. Papadopoulos, Physics in Riemann's mathematical papers,  In:  From Riemann to differential geometry and relativity (L. Ji, A. Papadopoulos and S. Yamada, ed.)  Berlin: Springer, p. 151-207.

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article. John Derbyshire et Julien Randon-Furling, Dans la jungle des nombres premiers,

  • (en) Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos,  and Sumio Yamada (Eds.), From Riemann to Differential Geometry and Relativity, Springer, , 647 p. (ISBN 978-3-319-60039-0, lire en ligne)
  • Gustavo Ernesto Piñeiro et Magali Mangin (trad.), La conjecture fondamentale sur les nombres premiers : Riemann, Barcelone, RBA Coleccionables, , 175 p. (ISBN 978-84-473-9320-6). 

Liens externes
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