Dimension

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut simplifier sa définition en disant que la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Ainsi, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet événement survient (il faut cependant préciser que, tant qu'aucune théorie physique ne relie le temps à l'espace, on pourrait tout aussi bien considérer la température comme une cinquième dimension ; l'article espace-temps explique comment le théorie de la relativité a amené à donner un sens non arbitraire à cette construction).

• Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points ;
• un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points ;
• un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points (abscisse curviligne) ;
• un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre supplémentaire pour le trouver.

Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D).

Plus généralement, si un système physique peut être dans un ensemble d'états caractérisés par des mesures, le nombre de dimensions de cet ensemble d'états (appelé parfois espace des phases) est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour caractériser un de ces états ; cela correspond mathématiquement à la notion de dimension d'une variété.

Il semble évident que l'espace physique n'a que trois dimensions, et on a longtemps considéré qu'une quatrième dimension spatiale était inimaginable, et en tout cas sans aucun sens physique concevable (voir l'article Espace à quatre dimensions pour plus de détails). Cependant, plusieurs modèles physiques contemporains, tentant en particulier de réconcilier relativité générale et physique quantique, supposent l'existence de dimensions spatiales supplémentaires, dites « enroulées », c'est-à-dire qu'un déplacement dans une de ces directions ramène au point de départ ; dans certains modèles de la théorie des cordes, il existerait ainsi 6 dimensions supplémentaires, totalement inaccessibles à notre échelle, car enroulées sur des longueurs comparables à la longueur de Planck.

Il est possible de classer les grandeurs physiques en différentes catégories selon la règle suivante : si deux grandeurs peuvent s'exprimer en fonction de la même unité, alors elles appartiennent à une même catégorie appelée dimension. Une grandeur ne peut appartenir à deux dimensions différentes : on parle donc de la dimension d'une grandeur. Si une grandeur peut s'exprimer sans utiliser aucune unité (sa valeur est un nombre réel), elle est dite adimensionnée : c'est le cas des angles, définis sur un cercle comme le rapport de la longueur d'un arc de cercle donné sur le rayon de ce cercle.

En exemple, on peut citer la longueur d'un fil, le diamètre d'un cercle, la distance entre deux points de l'espace : ces trois grandeurs peuvent s'exprimer en mètres et sont donc de même dimension.

La dimension d'une grandeur physique est exprimée par rapport aux dimensions des sept unités de base du Système international (SI). Par exemple, la vitesse a la dimension d'une longueur divisée par un temps (par conséquent, l'unité de vitesse dans le SI est le mètre par seconde). Si on reprend l'exemple précédent, les trois grandeurs mentionnées ont la dimension d'une longueur.

Ne sont pas à confondre dimension d'une grandeur et unité choisie pour exprimer le résultat de sa mesure. En effet, là ou la première renseigne globalement sur la nature de ladite grandeur, la seconde voit sa portée restreinte au cas de la mesure et est choisie en fonction de cette dernière pour des raisons d'ordre de grandeur.

En algèbre linéaire, la dimension d'un espace vectoriel E sur un corps K est le cardinal commun à toutes les bases de E. Une base est une famille libre maximale ou une famille génératrice minimale. Si ce cardinal est fini, il représente le nombre de vecteurs de base à introduire pour écrire les coordonnées d'un vecteur. Cette notion conduit à la classification des espaces vectoriels : deux espaces vectoriels sur K sont isomorphes s'ils ont la même dimension.

Par exemple, l'espace vectoriel réel des suites réelles est de dimension infinie. Dans un tel espace, il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

La dimension d'un espace affine et la dimension d'un convexe sont dérivées de cette notion de dimension.

La dimension d'une variété topologique est une généralisation courbée de la notion de dimension d'un espace vectoriel. Comme une variété topologique est définie par recollement de morceaux homéomorphes à des ouverts des espaces vectoriels ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, on dit que cette variété est de dimension ${\displaystyle n}$. Il en est de même pour la dimension d'une variété différentielle : sa dimension est la dimension de l'espace vectoriel dans lequel on choisit les ouverts pour fabriquer les cartes locales.

Construction de la courbe de von Koch.

En géométrie fractale, la dimension fractale est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique.

Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré. Les définitions les plus importantes sont la dimension de Hausdorff, la dimension de Minkowski (ou "box-counting"), et la dimension de corrélation.

La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rⁿ un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine, à n si P est d'intérieur non vide, à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

En géométrie algébrique, l'espace topologique sous-jacent à une variété algébrique ou un schéma est relativement grossier (ne comporte pas beaucoup de parties ouvertes). La notion adéquate est celle de dimension de Krull qui mesure la longueur maximale de chaines de parties fermées irréductibles. Elle correspond à l'intuition (dimension vectorielle; dimension topologique) le cas échéant (espace affine; variétés sans point singulier sur le corps des nombres réels).

Pour un anneau commutatif unitaire A, sa dimension est la dimension de Krull du spectre premier Spec A. Par exemple, un corps est de dimension 0, alors que l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et à n variables est de dimension n.

Le graphe de Möbius-Kantor dessiné dans un plan (dimension 2) avec des arêtes de longueur 1.

En théorie des graphes, la dimension d'un graphe est le plus petit nombre entier ${\displaystyle n}$ tel qu'une représentation classique du graphe dans l'espace affine euclidien ${\displaystyle E^{n}}$ de dimension ${\displaystyle n}$ ne comporte que des segments de longueur 1.

Dans la représentation classique d'un graphe, les sommets sont représentés par des points et les arêtes par des segments de droite.

Dans le cas d'un graphe complet, où tous les sommets sont reliés, la dimension du graphe coïncide avec la dimension du simplexe associé. Les autres graphes comportent moins d'arêtes et arrivent souvent à utiliser moins de dimensions que ce cas limite.