Indicatrice d'Euler

En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.

Les mille premières valeurs de

φ (n)

.

Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres.

En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.

L'indicatrice d'Euler est aussi appelée indicateur d'Euler, fonction phi d'Euler ou simplement fonction phi, car la lettre $\varphi$ (ou $\phi$ ) est communément utilisée pour la désigner.

Elle porte le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui fut le premier à l'étudier.

Histoire et notation

Leonhard Euler a le premier étudié cette fonction dans les années 1750, mais tout d'abord sans lui donner de nom[1]. Ce n'est qu'en 1784, dans un article où il reprend l'étude de cette fonction, qu'il utilise pour la dénoter la lettre grecque π, sans parenthèses autour de l'argument : denotet character πD multitudinem istam numerorum ipso D minorum, et qui cum eo nullum habeant divisorem communem[2]. C'est finalement en 1801 que Carl Friedrich Gauss introduit la lettre grecque ϕ, dans les Disquisitiones Arithmeticae (art. 38)[3], toujours sans user de parenthèses autour de l'argument ; il écrit ainsi ϕA pour ce qui est noté maintenant ϕ(A). De nos jours, on emploie la lettre grecque phi minuscule en italique $\varphi$ ou $\phi$ .

Définition et exemples

L'indicatrice d'Euler est la fonction $φ$ , de l'ensemble ℕ^* des entiers strictement positifs dans lui-même, définie par :

{\begin{array}{ccccl}\varphi &:&\mathbb {N} ^{*}&\longrightarrow &\mathbb {N} ^{*}\\&&n&\longmapsto &\mathrm {card} (\{m\in \mathbb {N} ^{*}~|~m\leqslant n~{\text{et}}~m~\mathrm {premier~avec} ~n\}).\end{array}}

Par exemple :

$φ (8) = 4$ car parmi les nombres de 1 à 8, seuls les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8 ;
$φ (12) = 4$ car parmi les nombres de 1 à 12, seuls les quatre nombres 1, 5, 7 et 11 sont premiers avec 12 ;
un entier p > 1 est premier si et seulement si tous les nombres de 1 à p – 1 sont premiers avec p, c.-à-d. si et seulement si $φ$ (p) = p – 1 ;
$φ (1) = 1$ car 1 est premier avec lui-même (c'est le seul entier naturel qui vérifie cette propriété, si bien que pour tout entier n > 1, on peut remplacer non seulement m ∈ ℕ* par m ∈ ℕ mais m ≤ n par m < n, dans la définition ci-dessus de $φ$ (n)).

On trouvera ci-dessous les 99 premières valeurs de la fonction φ (suite A000010 de l'OEIS).

Les 100 premières valeurs de la fonction $φ$ .

$\varphi (n)$	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Premières propriétés

Les

\varphi (11)/2=5

hendécagones réguliers (à 11 sommets)

Théorème[4] —

Pour tout entier n strictement positif, φ(n) est égal :
- au nombre d'éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ ;
- au nombre de générateurs d'un groupe cyclique d'ordre n.
- au nombre de racines n-ièmes de l'unité qui sont primitives.
- pour n supérieur ou égal à trois, au double du nombre de polygones réguliers croisés ou non à n sommets (ou côtés).
La fonction $φ$ est multiplicative, c'est-à-dire que si u et v sont deux entiers strictement positifs premiers entre eux, alors $φ$ (uv) = $φ$ (u) $φ$ (v).

Calcul

La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient à partir de la décomposition en facteurs premiers de n :

{\rm {si}}\quad n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\quad {\rm {alors}}\quad \varphi (n)=\prod _{i=1}^{r}(p_{i}-1)p_{i}^{k_{i}-1}=n\prod _{i=1}^{r}{\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)}

où chaque p_i désigne un nombre premier et k_i un entier strictement positif : on peut le déduire du théorème précédent[4] ou, plus élémentairement, du principe d'inclusion-exclusion.

Par exemple, pour les nombres sans facteurs carré $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}$ , comme par exemple les primorielles, on obtient $\quad \varphi (n)=\prod _{i=1}^{r}(p_{i}-1)$ .

Algorithme de calcul

En 2018, on ne connait pas d’algorithme efficace pour calculer l’indicatrice d’Euler d’un entier n donné. L’expression ci‐dessus requiert de calculer les facteurs premiers de n, ce qui est réputé difficile : les meilleurs algorithmes de factorisation connus ont une complexité sous‐exponentielle.

Le problème de calculer l’indicatrice d’Euler est plus général que le problème RSA car il permet de résoudre facilement ce dernier. En conséquence, la connaissance d’un algorithme de calcul efficace casserait la sécurité du système cryptographique RSA.

Autres propriétés

Arithmétique modulaire

L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire ; elle est à la base de résultats fondamentaux, à la fois en mathématiques pures et appliquées.

Si a divise b alors $φ$ (a) divise $φ$ (b).
Si n a q diviseurs premiers impairs distincts, $φ$ (n) est divisible par 2^q.
Ces trois propriétés peuvent se déduire du calcul explicite de $φ$ .
Pour tout entier n > 2, $φ$ (n) est pair.
En effet, m ↦ n – m est une bijection entre les entiers premiers à n compris entre 0 (ou 1) et n/2 et ceux compris entre n/2 et n, et n/2 peut être entier mais pas premier à n.
La cryptologie utilise cette fonction. Le chiffrement RSA se fonde sur la propriété suivante :
(Théorème d'Euler). Si n est un entier strictement positif et a un entier premier à n, alors a^{$φ$ (n)} ≡ 1 (modulo n).
Une autre branche de la théorie de l'information utilise l'indicatrice : la théorie des codes. C'est les cas des codes correcteurs, et particulièrement des codes cycliques. Ce type de code se construit à l'aide d'un polynôme cyclotomique, or
Le degré du n-ième polynôme cyclotomique Φ_n est égal à $φ$ (n).
Dans le groupe (ℤ/nℤ, +), les éléments d'ordre d (un diviseur de n) sont les générateurs du sous-groupe engendré par n/d. Si les éléments de ℤ/nℤ sont partitionnés selon leurs ordres, on obtient donc[5] : $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad n=\sum _{d|n}\varphi (d)$ .
La formule d'inversion de Möbius donne alors : $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}$ ,où $μ$ désigne la fonction de Möbius.
$φ$ (n) est égal à la valeur en 1 de la transformée de Fourier discrète de pgcd(n, –), donc aussi à sa partie réelle : $\varphi (n)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {pgcd} \left(n,k\right)\operatorname {e} ^{-2{\rm {i}}\pi k/n}=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {pgcd} \left(n,k\right)\cos \left(2\pi k/n\right)$ .

Fonctions génératrices

Les deux fonctions génératrices présentées ici se calculent respectivement à l'aide des deux formules $φ$ = $μ$ ✻ $Id$ et $φ$ ✻ $1 = Id$ ci-dessus.

Comme la série de Dirichlet génératrice de $μ$ est $1/ζ(s)$ — où $ζ$ est la fonction zêta de Riemann — et celle de $Id$ est $ζ(s - 1)$ , on en déduit celle de $φ$ (qui converge pour $Re(s) > 2$ ) :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.

La série de Lambert associée à $φ$ (qui converge pour |q| < 1) est

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }mq^{m}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.

Moyenne asymptotique

Arnold Walfisz a établi[6]

\sum _{n\leq x}\varphi (n)={\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}+O\left(x(\log x)^{2/3}(\log \log x)^{4/3}\right)\ \ (x\rightarrow \infty )

(où $O$ est le grand O de Landau), en exploitant entre autres des estimations de sommes d'exponentielles dues à I. M. Vinogradov et à N. M. Korobov. À ce jour, c'est toujours la meilleure estimation de ce type démontrée.

Croissance de la fonction

Asymptotiquement, nous avons

n^{1-\epsilon }<\varphi (n)\leq n-1\

pour n'importe quel $\epsilon >0\,$ et $n>N(\epsilon )\,$ . L'égalité à la borne supérieure est satisfaite chaque fois que n est un nombre premier. Et si nous considérons la relation

{\frac {\varphi (n)}{n}}=\prod _{p|n,\ p{\text{ premier}}}(1-p^{-1})\,

nous pouvons constater que les valeurs de n correspondant aux valeurs particulièrement petites^[pas clair] de ${\frac {\varphi (n)}{n}}$ sont les n primoriels, c’est-à-dire ceux qui sont le produit d'un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. À partir du troisième théorème de Mertens et des inégalités de Tchebychev on peut montrer que l'estimation ci-dessus peut être remplacée par

{\frac {{\rm {e}}^{-\gamma }n}{\ln \ln n}}(1+o(1))<\varphi (n)\leq n-1\

(où $o$ est le petit o de Landau et $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni), et que la minoration est optimale.

Autres formules impliquant la fonction φ d'Euler

$\forall a>0,\forall n>1\quad n|\varphi (a^{n}-1)$
car l'ordre multiplicatif de $a$ modulo $a n - 1$ vaut $n$ .
$\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n){\frac {d}{\varphi (d)}}{\text{ pour }}d={\rm {pgcd}}(m,n),$ $\text{[math]}$
en particulier :
- $\varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ si }}m{\text{ est pair}}\\\varphi (m)&{\text{ si }}m{\text{ est impair}}\end{cases}}$
- $\forall k\geq 1\quad \varphi (n^{k})=n^{k-1}\varphi (n).$
$\sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}.$
$\forall n>1\quad \sum _{1\leq k\leq n \atop {\rm {pgcd}}(k,n)=1}k={\frac {1}{2}}n\varphi (n).$
$\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right).$
En 1965, P. Kesava Menon a démontré[7] $\sum _{{\stackrel {1\leq k\leq n}{\rm {pgcd}}}(k,n)=1}{\rm {pgcd}}(k-1,n)=\varphi (n)d(n)$ où $d$ est la fonction nombre de diviseurs

Quelques généralisations de l'identité de Menon

B. Sury[8] $\sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{{\rm {pgcd}}(k_{1},n)=1}}{\rm {pgcd}}(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n)$ où σ_a est la fonction somme des puissances a-ièmes des diviseurs.

N. Rao[9] $\sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{{\rm {pgcd}}(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}{\rm {pgcd}}(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n)$ où $a 1, a 2, \dots , a s$ sont des entiers tels que $pgcd(a 1, a 2, \dots , a s, n) = 1$ et $J s$ est la fonction totient de Jordan.

L. Tóth[10] $\sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{{\rm {pgcd}}(k,m)=1}}{\rm {pgcd}}(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi ({\rm {pgcd}}(d_{1},d_{2}))2^{\omega ({\rm {ppcm}}(d_{1},d_{2}))}$ où $m 1$ et $m 2$ sont impairs, $m = ppcm (m 1, m 2)$ et ω est la fonction nombre de diviseurs premiers distincts.

En fait, pour toute fonction arithmétique $f$ [11]^,[12], $\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{{\rm {pgcd}}(k,n)=1}}f({\rm {pgcd}}(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}}.$

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{2/3}(\log \log n)^{4/3}\right)$ [6].
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315~\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{2/3}\right)$ [13].
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315~\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ premier}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{2/3}}{n}}\right)$ [13]
( $γ$ est la constante d'Euler).
$\forall m>1\quad \sum _{1\leq k\leq n \atop {\rm {pgcd}}(k,m)=1}1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)$
où ω(m) est le nombre de diviseurs premiers de m distincts.

Inégalités

Certaines inégalités impliquant la fonction $φ$ sont :

\varphi (n)>{\frac {n}{{\rm {e}}^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}

pour

n > 2

[14]^,[15],

\varphi (n)\geqslant {\sqrt {\frac {n}{2}}}

pour

n > 0

et

\varphi (n)\geqslant {\sqrt {n}}

pour

n > 6

.

On a déjà remarqué que pour $n$ premier, $φ (n) = n - 1$ . Pour un nombre composé $n$ , nous avons $\varphi (n)\leqslant n-{\sqrt {n}}.$

Par conséquent, pour tout $n > 1$ : $0<{\frac {\varphi (n)}{n}}<1.$

Pour un grand $n$ aléatoire, ces bornes 0 et 1 ne peuvent pas être améliorées. En effet, ce sont les limites inférieure et supérieure de $φ (n)/ n$ .

Deux inégalités combinant la fonction $φ$ et la fonction somme des diviseurs $σ$ sont :

${\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ pour }}n>1.$

Conjectures

$n$ est premier si (et seulement si) $n\equiv 1{\bmod {\varphi }}(n)$ (c'est le problème de Lehmer, énoncé par Derrick Lehmer)
$\forall {n>0}\quad \exists {m\neq n}\quad \varphi (n)=\varphi (m)$ (c'est la « conjecture de Carmichael » que Robert Daniel Carmichael, en 1907, a énoncée et cru démontrer, mais qui reste toujours un problème ouvert).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Euler's totient function » (voir la liste des auteurs) et « Arithmetic function » (voir la liste des auteurs).

L. Euler, « Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 8, 1763, p. 74-104, ou Opera Omnia, Series 1, vol. 2, p. 531-555. Le traité a été présenté devant l'Académie de Saint-Pétersbourg le 15 octobre 1759. Un traité du même nom a été lu à l'académie de Berlin le 8 juin 1758.
L. Euler, « Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum », Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae, vol. 4, 1784, p. 18-30, ou Opera Omnia, Series 1, vol. 4, p. 105-115. Le traité a été présenté devant l'Académie de Saint-Pétersbourg le 9 octobre 1775.
Lire en ligne.
Pour une démonstration, voir par exemple « Fonctions arithmétiques », dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
Pour plus de détails, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
(de) A. Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1963.
(en) László Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables, arXiv:1103.5861v2, eq. 1.
Tóth, eq. 5.
Tóth, eq. 3.
Tóth, eq. 35.
Tóth, eq. 2.
Tóth écrit que Menon l'a prouvé en 1965 pour $f$ multiplicative, et V. Sita Ramaiah pour $f$ quelconque.
(en) R. Sitaramachandrarao, « On an error term of Landau II », Rocky Mountain J. Math., vol. 15,‎ 1985, p. 579-588.
(en) Eric Bach (en) et Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press, 1996 (ISBN 978-0-262-02405-1, lire en ligne), p. 234.
(en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, 3^e éd. (ISBN 978-0-387-94457-9), p. 320.

Articles connexes

Portail de la cryptologie
Arithmétique et théorie des nombres

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[1] L. Euler, « Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 8, 1763, p. 74-104, ou Opera Omnia, Series 1, vol. 2, p. 531-555. Le traité a été présenté devant l'Académie de Saint-Pétersbourg le 15 octobre 1759. Un traité du même nom a été lu à l'académie de Berlin le 8 juin 1758.

[2] L. Euler, « Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum », Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae, vol. 4, 1784, p. 18-30, ou Opera Omnia, Series 1, vol. 4, p. 105-115. Le traité a été présenté devant l'Académie de Saint-Pétersbourg le 9 octobre 1775.

[3] Lire en ligne.

[Wikiversité-4] Pour une démonstration, voir par exemple « Fonctions arithmétiques », dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

[5] Pour plus de détails, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

[Walfisz-6] (de) A. Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1963.

[7] (en) László Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables, arXiv:1103.5861v2, eq. 1.

[8] Tóth, eq. 5.

[9] Tóth, eq. 3.

[10] Tóth, eq. 35.

[11] Tóth, eq. 2.

[12] Tóth écrit que Menon l'a prouvé en 1965 pour $f$ multiplicative, et V. Sita Ramaiah pour $f$ quelconque.

[Sitaramachandrarao-13] (en) R. Sitaramachandrarao, « On an error term of Landau II », Rocky Mountain J. Math., vol. 15,‎ 1985, p. 579-588.

[14] (en) Eric Bach (en) et Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press, 1996 (ISBN 978-0-262-02405-1, lire en ligne), p. 234.

[15] (en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, 3^e éd. (ISBN 978-0-387-94457-9), p. 320.