Somme des diviseurs

• Comme toutes les fonctions diviseur σ_a, la fonction σ = σ₁ est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, σ(mn) = σ(m)σ(n).
• La somme des termes d'une suite géométrique permet de calculer la somme des diviseurs d'une puissance d'un nombre premier :${\displaystyle \sigma (p^{k})=\sum _{j=0}^{k}p^{j}={\frac {p^{k+1}-1}{p-1}}.}$(La fonction σ n'est donc pas complètement multiplicative.)
• L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer la somme des diviseurs de n connaissant sa décomposition en facteurs premiers :${\displaystyle {\rm {si}}\quad n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\quad {\rm {alors}}\quad \sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{k_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.}$
• Au sens de la convolution de Dirichlet, on peut écrire ${\displaystyle \sigma ={\rm {Id*\mathbf {1} }}}$. σ possède alors un inverse ${\displaystyle \sigma ^{-1}=\mathbf {1} ^{-1}*{\rm {Id^{-1}=\mu *(\mu {\rm {Id)}}}}}$, qu'on peut calculer explicitement : ${\displaystyle \sigma ^{-1}(n)}$ est nul dès que ${\displaystyle n}$ admet un facteur cubique, et sinon en écrivant ${\displaystyle n=(p_{1}p_{2}...p_{r})(q_{1}q_{2}...q_{l})^{2}}$ où les ${\displaystyle p_{i}}$ et les ${\displaystyle q_{i}}$ sont des nombres premiers deux à deux distincts, on a ${\displaystyle \sigma ^{-1}(n)=(-1)^{r}(p_{1}+1)(p_{2}+1)...(p_{r}+1)q_{1}q_{2}...q_{l}}$.

Leonhard Euler énonce en 1752[3] un résultat, qu'il appelle « Loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs », permettant de déterminer la somme des diviseurs de n à l'aide d'une formule de récurrence :

${\displaystyle \sigma (n)=\sigma (n-1)+\sigma (n-2)-\sigma (n-5)-\sigma (n-7)+\sigma (n-12)+\cdots }$

où 1, 2, 5, 7, 12, ... est la suite des nombres pentagonaux généralisés.

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{i\in \mathbb {Z} ^{*}}(-1)^{i+1}f_{n}\left(n-{\frac {i(3i-1)}{2}}\right)}$

avec ${\displaystyle f_{n}(k)={\begin{cases}\sigma (k)&{\text{ si }}k>0,\\n&{\text{ si }}k=0,\\0&{\text{ si }}k<0,\end{cases}}}$

loi qu'il démontre en 1754[4] à l'aide de l'écriture en série d'un produit infini : ${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})...=\prod _{i=1}^{+\infty }(1-x^{i})=\sum _{-\infty }^{+\infty }(-1)^{i}x^{\frac {i(3i+1)}{2}}.}$

Un ordre moyen simple pour la fonction σ(n) est la fonction nπ²/6, puisqu'on a l'estimation

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{12}}x^{2}+E(x),}$

où le terme E(x) est un o(x²). Ici o, et plus bas O et Ω_±, sont les symboles de Landau. Une bonne estimation de ce terme E(x) fournit une évaluation fine de la précision obtenue si l'on attribue à σ(n) l'ordre moyen nπ²/6. Les meilleures majoration et minoration connues de cette précision sont données respectivement par[5]

${\displaystyle E(x)=O(x(\log x)^{2/3}),}$

et par[6]

${\displaystyle E(x)=\Omega _{\pm }(x\log \log x).}$

Comportement de la fonction sigma sur les 250 premiers entiers.

La fonction somme des diviseurs a été étudiée dans le contexte de l'hypothèse de Riemann.

T. H. Gronwall a démontré en 1913[7] que ${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\dfrac {\sigma (n)}{n\ln(\ln(n))}}={\rm {e}}^{\gamma }}$ où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Le critère de Robin (du mathématicien français Guy Robin, en 1984[8]) stipule que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si

${\displaystyle \sigma (n)<n{\rm {e}}^{\gamma }\ln(\ln(n))\,}$

pour tout n ≥ 5 041.

Cette inégalité a déjà été établie pour 70,26 % des entiers naturels[9]. (Les auteurs montrent que les entiers quadratfrei, de densité 6/π², ainsi que les impairs, de densité 1/2, satisfont l'inégalité. Les impairs non quadratfrei étant de densité 0,5 – 4/π², les entiers satisfaisant l'inégalité sont de densité au moins 2/π² + 1/2 = 0,702642… .)

En 2001, Jeffrey Lagarias, en utilisant le critère de Robin, lie la somme des diviseurs au n-ième nombre harmonique H_n et prouve[10] que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si pour tout entier n, ${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\exp(H_{n})\ln(H_{n}).}$

La somme des diviseurs peut être exprimée sous forme de somme trigonométrique :

${\displaystyle \sigma _{1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\cos {\frac {2\pi jn}{k}}}$.