Centre du triangle

En géométrie plane, un centre du triangle est un point du plan qui, en un certain sens, peut être vu comme un centre du triangle au même titre que le centre d'un carré ou d'un cercle, soit un point au centre de la figure selon une certaine mesure. Certains de ces points, comme le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont connus depuis la Grèce antique et constructibles simplement.

Chacun de ces centres classiques ont la propriété d'être invariants (plus précisément équivariant) par des similitudes. En d'autres termes pour tout triangle et toute similarité (comme une rotation, une symétrie, agrandissement ou réduction, ou translation), le centre du triangle transformé est l'image du centre du triangle original par la même transformation. C'est cette invariance qui est la propriété définissante d'un centre du triangle, et exclut donc certains points connus parmi les éléments remarquables comme les points de Brocard qui ne sont pas invariants par symétrie.

Tous les centres d'un triangle équilatéral coïncident en son centre de gravité, mais sont généralement distincts pour un triangle quelconque. Les définitions et propriétés de centaines de ces points sont répertoriés dans l'Encyclopedia of Triangle Centers.

Histoire

Les géomètres de la Grèce antique connaissaient les centres "classiques" d'un triangle, mais ne parlaient pas de centres d'un triangle. Par la suite, d'autres points spéciaux ont été découverts, comme le point de Fermat, le centre du cercle d'Euler, le point de Lemoine, le point de Gergonne ou le point de Feuerbach. Pendant le regain d'intérêt pour la géométrie du triangle au cours des années 1980, il a été remarqué que ces points spéciaux partagent certaines propriétés qui forment de nos jours la base de la définition formelle d'un centre d'un triangle[1]^,[2]. Au 1^er septembre 2020, l'Encyclopédie des Centres du Triangle de Clark Kimberling compte 39 474 entrées annotées[3].

Définition formelle

Une fonction à valeurs réelles $f$ de trois variables réelles $a$ , $b$ , $c$ peut avoir les propriétés suivantes :

Homogénéité :

f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)

pour toute constante

n

pour tout

t > 0

.

Bisymétrie entre les deuxième et troisième variables :

f(a,b,c)=f(a,c,b).

Si une fonction $f$ non nulle a ces deux propriétés, on l'appelle fonction centrale. Si $f$ est une fonction centrale et $a$ , $b$ , $c$ sont les longueurs des côtés d'un triangle de référence alors tout point ayant des coordonnées trilinéaires sont de la forme $f (a, b, c) : f (b, c, a) : f (c, a, b)$ est appelé centre de triangle.

Par cette définition, les centres de triangle entre deux triangles similaires ont la propriété d'invariance définie plus haut. Par convention seul le premier cas de coordonnées trilinéaires d'un centre du triangle est donné, car on peut déduire les deux autres par permutation cyclique de $a$ , $b$ , $c$ . On parle alors de cyclicité[4]^,[5].

Toute fonction centrale correspond à un centre du triangle unique. Cette correspondance n'est cependant pas bijective : différentes fonctions peuvent définir un même centre du triangle. Par exemple, les fonctions $f 1 (a, b, c) = 1/ a$ et $f 2 (a, b, c) = bc$ correspondent toutes deux au centre de gravité. Deux fonctions centrales définissent le même centre si et seulement si leur rapport est une fonction symétrique en $a$ , $b$ , $c$ .

Même si une fonction centrale est bien définie partout, le centre du triangle n'existe pas toujours. Par exemple, soit $f (a, b, c)$ la fonction valant 0 si $a / b$ et $a / c$ sont tous deux rationnels et 1 sinon. Alors pour tout triangle de longueurs entières, le centre assoicé est de coordonnées trilinéaires 0:0:0 et n'est donc par défini.

Domaine par défaut

Dans certains cas, ces fonctions centrales ne sont pas définies sur tout ℝ³. Par exemple, les coordonnées trilinéaires du point X₃₆₅ sont $a 1/2 : b 1/2 : c 1/2$ , ainsi, $a$ , $b$ , $c$ ne peuvent être négatifs. De plus, pour correspondre aux longueurs des côtés d'un triangle, elles doivent vérifier l'inégalité triangulaire. Ainsi, en pratique, tout ensemble de définition d'une fonction centrale est restreint à ℝ³ tel que $a \leq b + c$ , $b \leq c + a$ et $c \leq a + b$ . Cette région T est le domaine de tous les triangles, et le domaine par défaut des fonctions centrales basées sur des triangles.

Autres domaines utiles

Il existe des cas où il peut être utile de restreindre l'analyse à des domaines plus petits que T. Par exemple :

Les centres X₃, X₄, X₂₂, X₂₄, X₄₀ font spécifiquement référence aux triangles acutangles, soit la région de T où

a 2 \leq b 2 + c 2

,

b 2 \leq c 2 + a 2

,

c 2 \leq a 2 + b 2

.

quand on différencie le point de Fermat et X₁₃ le domaine des triangles dont un angle dépasse $2π/3$ est important, ce qui se traduit par

a 2 > b 2 + bc + c 2

ou

b 2 > c 2 + ca + a 2

ou

c 2 > a 2 + ab + b 2

.

Un domaine bien plus pratique car dense dans T tout en excluant les triangles triviaux (i.e. réduit à un point) et dégénérés (i.e. les triangles plats) est l'ensemble des triangles scalènes,
obtenu par exclusion des plans $b = c$ , $c = a$ , $a = b$ de T.

Symétrie de domaine

Tout sous-ensemble D ⊆ T n'est pas forcément un domaine conforme. Pour vérifier la bisymétrie D doit être symétrique autour des plans $b = c$ , $c = a$ , $a = b$ . Pour vérifier la cyclicité, il doit également être invariant pour toute rotation d'angle $2π/3$ autour de la droite $a = b = c$ . Le plus simple de ces domaines admissibles est la droite $(t, t, t)$ qui correspond à l'ensemble des triangles équilatéraux.

Exemples

Un triangle (ΔABC) avec son centre de gravité (G), le centre de son cercle inscrit (I), le centre de son cercle circonscrit (O), son orthocentre (H) et le centre de son cercle d'Euler (N)

Centre du cercle circonscrit

Le point de concurrence des médiatrices des côtés d'un triangle ABC est le centre de son cercle circonscrit. Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle circonscrit sont

a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).

On pose $f (a, b, c) = a (b 2 + c 2 - a 2)$ . On a alors bien homogénéité et bisymétrie :

f(ta,tb,tc)=(ta)((tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2})=t^{3}\times a(b^{2}+c^{2}-a^{2})=t^{3}f(a,b,c)

f(a,c,b)=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})=f(a,b,c)

donc $f$ est bien une fonction centrale. Comme le point remarquable du triangle a les mêmes coordonnées trilinéaires que le centre du cercle circonscrit, ce point est bien un centre du triangle.

Premier centre isogonique

Soit A'BC le triangle équilatéral de base BC et de sommet A' vers l'extérieur de ABC. On construit de façon similaire les triangles équilatéraux AB'C et ABC' le long des deux autres côtés du triangle ABC. Alors les lignes AA', BB' et CC' sont concourantes au premier centre isogonique du triangle. Ses coordonnées trilinéaires sont

\csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)

.

En exprimant ces coordonnées avec les longueurs $a$ , $b$ et $c$ , on peut ainsi vérifier qu'elles vérifient bien les propriétés des coordonnées d'un centre et donc ce point est un centre du triangle.

Point de Fermat

Soit

f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{si }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&({\text{soit }}A>2\pi /3),\\0&\quad {\text{si }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}{\text{ ou }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}&({\text{soit }}B>2\pi /3{\text{ ou }}C>2\pi /3),\\\csc(A+\pi /3)&\quad {\text{sinon }}&({\text{soit si aucun angle ne vaut plus que }}2\pi /3).\end{cases}}

Alors $f$ est bisymétrique et homogène donc c'est une fonction centrale. De plus le centre correspondant coïncide avec le sommet d'angle obtus au cas où un des angles dépasse $2π/3$ , et avec le premier centre isogonique sinon. Ainsi, ce centre est le point de Fermat du triangle.

Éléments remarquables invalides

Points de Brocard

Les coordonnées trilinéaires du premier point de Brocard sont $c / b : a / c : b / a$ . Ces coordonnées vérifient les propriétés d'homogénéité et de cyclicité mais pas la bisymétrie. Ainsi, le premier point de Brocard n'est pas (en général) un centre du triangle. Le second point de Brocard a pour coordonnées trilinéaires $b / c : c / a : a / b$ et les mêmes remarques peuvent être faites.

Les deux points de Brocard sont uns des nombreuses paires bicentriques de points[6], des paires de points définies par rapport à un triangle avec la propriété que la paire (mais pas chacun pris individuellement) est préservé par des similarités appliquées au triangle. Plusieurs opérations binaires, comme le milieu et le produit trilinéaire, une fois appliqué aux points de Brocard ou aux autres paires bicentriques, produisent des centres du triangle.

Vecteurs de position

Les centre du triangle peuvent être repérés par la formule :

P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}},

où $P$ , $A$ , $B$ , $C$ sont des vecteurs position, et les coordonnées $w A, w B, w C$ sont des scalaires dont la définition correspond à chaque centre selon le tableau suivant. Les longueurs des côtés seront notées $a$ , $b$ , $c$ et $S$ est l'aire du triangle, typiquement évaluée par la formule de Héron.

	$w A$	$w B$	$w C$	$w A + w B + w C$
Centre du cercle inscrit	$a$	$b$	$c$	$a+b+c$
Centres des cercles exinscrits	$-a$	$b$	$c$	$b+c-a$
	$a$	$-b$	$c$	$c+a-b$
	$a$	$b$	$-c$	$a+b-c$
Centre de gravité	1	1	1	3
Centre du cercle circonscrit	$a 2 (b 2 + c 2 - a 2)$	$b 2 (c 2 + a 2 - b 2)$	$c 2 (a 2 + b 2 - c 2)$	$16 S 2$
Orthocentre	$a 4 - (b 2 - c 2) 2$	$b 4 - (c 2 - a 2) 2$	$c 4 - (a 2 - b 2) 2$	$16 S 2$

avec donc

a\equiv {\overline {BC}}={\sqrt {({\vec {BC}},{\vec {BC}})}},

b\equiv {\overline {CA}}={\sqrt {({\vec {CA}},{\vec {CA}})}},

c\equiv {\overline {AB}}={\sqrt {({\vec {AB}},{\vec {AB}})}},

16S^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).

Propriétés de centres du triangle connus

Centres du triangle classiques

Nombre de Kimberling associé	Nom	Notation classique	Coordonnées trilinéaires	Description
$X 1$	Centre du cercle inscrit	$I$	$1 : 1 : 1$	Intersection des bissectrices des angles. Centre du cercle inscrit au triangle.
$X 2$	Centre de gravité	$G$	$bc : ca : ab$	Intersection des médiane (géométrie)s. Isobarycentre du triangle plan uniforme.
$X 3$	Centre du cercle circonscrit	$O$ ou $Ω$	$cos A : cos B : cos C$	Intersection des médiatrices des côtés. Centre du cercle circonscrit au triangle.
$X 4$	Orthocentre	$H$	$tan A : tan B : tan C$	Intersection des hauteurs du triangle.
$X 5$	Centre du cercle d'Euler	$N$	$cos(B - C) : cos(C - A) : cos(A - B)$	Centre du cercle passant par le milieu de chaque côté, les pieds des hauteurs et les milieux des segments entre l'orthocentre et chaque sommet.
$X 6$	Point de Lemoine	$K$	$a : b : c$	Intersection des symédianes (droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices correspondantes).
$X 7$	Point de Gergonne	$G e$	$bc /(b + c - a) : ca /(c + a - b) : ab /(a + b - c)$	Intersection des droites reliant les sommets et les points de contact du cercle inscrit avec le côté opposé.
$X 8$	Point de Nagel	$N a$	$(b + c - a)/ a : (c + a - b)/ b : (a + b - c)/ c$	Intersection reliant les sommets et les points de contact des cercle exinscrits au côté opposé.
$X 9$	Mittenpunkt	$M$	$b + c - a : c + a - b : a + b - c$	Plusieurs définitions.
$X 10$	Centre du cercle de Spieker	$S p$	$bc (b + c) : ca (c + a) : ab (a + b)$	Centre du cercle inscrit au triangle médian. Isobarycentre des côtés du triangle.
$X 11$	Point de Feuerbach	$F$	$1 - cos(B - C) : 1 - cos(C - A) : 1 - cos(A - B)$	Point de tangence entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit.
$X 13$	Point de Fermat*	$X$	$csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)$	Point tel que la somme des distances aux sommets soit la plus petite.
$X 15$ , $X 16$	Points isodynamiques	$S$ $S'$	$sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3) sin(A - π/3) : sin(B - π/3) : sin(C - π/3)$	Centres des inversions qui transforment le triangle en un triangle équilatéral.
$X 17$ , $X 18$	Points de Napoléon	$N$ $N'$	$sec(A - π/3) : sec(B - π/3) : sec(C - π/3) sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)$	Intersection des droites reliant les sommets du triangle au sommet d'un triangle équilatéral pointant vers l'extérieur (pour le 1^er point) ou à l'intérieur (pour le 2^e point), avec pour base le côté opposé.
$X 99$	Point de Steiner	$S$	$bc /(b 2 - c 2) : ca /(c 2 - a 2) : ab /(a 2 - b 2)$	Plusieurs définitions.

(*) : il s'agit plus précisément du premier centre isogonique, confondu avec le point de Fermat sur les angles aux sommets n'excèdent pas $2π/3$

Centres du triangle récents

Les centres notables découverts plus récemment n'ont pas de notation courante. Seule la première coordonnée trilinéaire $f (a, b, c)$ sera spécifiée, les deux autres étant obtenus par cyclicité des coordonnées trilinéaires.

Numéro de Kimberling	Nom	Fonction centrale $f (a, b, c)$	Description	Année de découverte
$X 21$	Point de Schiffler	$1/(cos B + cos C)$		1985
$X 22$	Point d'Exeter	$a (b 4 + c 4 - a 4)$	Point de concurrence des droites passant par les points de concurrence entre les médianes et le cercle circonscrit au triangle et les tangentes au cercle circonscrit au sommet du triangle.	1986
$X 111$	Point de Parry (en)	$a /(2 a 2 - b 2 - c 2)$	Centre du cercle de Parry (cercle passant par le centre de gravité et les deux points isodynamiques)	début des années 1990
$X 173$	Point des isocéliseurs congruents (en)	$tan(A /2) + sec(A /2)$		1989
$X 174$	Centre de congruence d'Yff (en)	$sec(A /2)$		1987
$X 175$	Point isopérimétrique	$- 1 + sec(A /2) cos(B /2) cos(C /2)$		1985
$X 179$	Premier point d'Ajima-Malfatti	$sec 4 (A /4)$
$X 181$	Point d'Apollonius	$a (b + c) 2 /(b + c - a)$		1987
$X 192$	Point des parallèliennes égales (en)	$bc (ca + ab - bc)$	Point d'intersection des trois segments intérieurs au triangle, parallèles à un côté, dont les extrémités sont sur les deux autres côtés, et tous trois égaux.	1961
$X 356$	Centre de Morley	$cos(A /3) + 2 cos(B /3) cos(C /3)$	Centre des cercles circonscrits aux triangles de Morley (triangles équilatéraux formés par les intersections des trisectrices aux sommets)
$X 360$	Point zéro de Hofstadter	$A / a$		1992

Classes générales de centres du triangle

Centres de Kimberling

En honneur de Clark Kimberling, créateur de l'encyclopédie en ligne qui répertorie et classe plus de 32 000 centres du triangle, ceux-ci sont appelés généralement centres de Kimberling[7].

Centre polynomial de triangle

Un centre du triangle est dit polynomial si ses coordonnées trilinéaires peuvent être exprimées comme des polynômes en $a$ , $b$ et $c$ .

Centre régulier du triangle

Un centre du triangle est dit régulier si ses coordonnées trilinéaires peuvent être exprimées comme des polynômes en $a$ , $b$ et $c$ , et son aire $S$ .

Centre majeur du triangle

Un centre du triangle est dit majeur si ses coordonnées trilinéaires peuvent être exprimées sous la forme $f (A) : f (B) : f (C)$ où $f$ ne dépend que de l'angle A et pas des deux autres angles ou des longueurs des côtés[8]

Centre transcendantal du triangle

Un centre du triangle est dit transcendantal si ses coordonnées trilinéaires ne peuvent être exprimées par des fonctions algébriques de $a$ , $b$ et $c$ .

Cas particuliers

Triangles isocèles et équilatéraux

Soit $f$ une fonction centrale.Si deux côtés du triangle sont égaux (par exemple $a = b)$ , alors

f (a, b, c) = f (b, a, c)

car

a = b

f (a, b, c) = f (b, c, a)

par la bisymétrie

donc deux coordonnées du centre du triangle associé sont toujours égales. Ainsi, tous les centres du triangle sont alignés sur son axe de symétrie. Pour un triangle équilatéral, ils sont donc confondus avec son centre de gravité. Ainsi, comme un cercle, un triangle équilatéral a un centre unique.

Centres des cercles exinscrits

Soit

f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{si }}a\geq b{\text{ et }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{sinon}}.\end{cases}}

On peut vérifier qu'il s'agit d'une fonction centrale et (pourvu que le triangle est scalène) le centre correspondant est le centre du cercle exinscrit opposé au plus grand angle au sommet. Les deux autres centres des cercles exinscrits peuvent être définies par des fonctions similaires. Cependant, comme vu plus haut, seul un des centres des cercles exinscrits d'un triangle isocèle et aucun pour un triangle équilatéral peuvent être vu comme un centre du triangle.

Fonctions biantisymétriques

Une fonction $f$ est biantisymétrique si $f (a, b, c) = - f (a, c, b)$ pour tous $a, b, c$ . Une telle fonction, de plus non nulle et homogène, existe, on peut facilement voir que la fonction $(a, b, c) \to f (a, b, c) 2 f (b, c, a) f (c, a, b)$ est une fonction centrale. Le centre correspondant a pour coordonnées $f (a, b, c) : f (b, c, a) : f (c, a, b)$ . En prenant en compte ceci, la définition d'un centre du triangle est parfois modifiée pour inclure les fonctions non nulles homogènes biantisymétriques.

Centres nouveaux et anciens

Toute fonction centrale $f$ peut être normalisée en la multipliant par une fonction symétrique de $a$ , $b$ , $c$ de sorte que $n = 0$ . Une fonction centrale normalisée a le même centre du triangle que l'originale, et une propriété plus forte sur l'homogénéité $f (ta, tb, tc) = f (a, b, c)$ pour tout $t > 0$ et tout triplet $(a, b, c)$ . Réunis avec la fonction nulle, les fonctions centrales normalisées forment une algèbre munie de l'addition, la soustraction et la multiplication. On a ainsi un moyen simple de créer de nouveaux centres du triangle. Toutefois, deux fonctions centrales normalisées vont souvent définir un même centre du triangle, par exemple $f$ et $(a + b + c) 3 / abc f$ .

Centres sans intérêt

On suppose $a, b, c$ trois variables réelles et soient $α, β, γ$ trois constantes réelles. On considère

f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{ si }}\min(a,b,c)=a,\\\gamma &\quad {\text{ si }}\max(a,b,c)=a,\\\beta &\quad \;{\text{sinon}}.\end{cases}}

Alors $f$ est une fonction centrale et $α : β : γ$ est le centre correspondant dès que les côtés du triangle de référence sont notés de sorte que $a < b < c$ . Ainsi, tout point eut potentiellement être un centre du triangle. Cependant la grande majorité de ces centres n'ont que peu d'intérêt, au même titre que la plupart des fonctions continues n'ont que peu d'intérêt. L''Encyclopedia of Triangle Centers se concentre sur ceux qui sont intéressants et continue de s'agrandir.

Coordonnées barycentriques

Si $f$ est une fonction centrale, alors $a f$ également, et le centre correspondant est $a f (a, b, c) : b f (b, c, a) : c f (c, a, b)$ . Comme on retrouve ainsi les coordonnées barycentriques du centre du correspondant à $f$ , on voit ainsi que les centres peuvent être définis de façon équivalente avec les coordonnées barycentriques au lieu des trilinéaires. Dans la pratique, le passage d'un système de coordonnées à l'autre n'est pas difficile.

Systèmes binaires

Il existe d'autres paires de centres que le point de Fermat et le premier centre isogonique. On en trouve un autre entre $X 3$ et le centre du cercle inscrit au triangle tangentiel. En effet, on considère la fonction centrale suivante :

f(a,b,c)={\begin{cases}\cos(A)\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\,\,{\text{pour un triangle acutangle}},\\\cos(A)+\sec(B)\sec(C)\quad {\text{si l'angle en }}A{\text{ est obtus}},\\\cos(A)-\sec(A)\quad \;\quad \;\quad \;\,{\text{si l'un des angles en }}B{\text{ ou }}C{\text{ est obtus}}.\end{cases}}

Pour le centre correspondant, on a quatre possibilités distinctes :

$cos(A) : cos(B) : cos(C)$ pour un triangle de référence acutangle (on retrouve ici le centre du cercle circonscrit) ;
$[cos(A) + sec(B)sec(C)] : [cos(B) - sec(B)] : [cos(C) - sec(C)]$ si l'angle en A est obtus ;
$[cos(A) - sec(A)] : [cos(B) + sec(C)sec(A)] : [cos(C) - sec(C)]$ si l'angle en B est obtus ;
$[cos(A) - sec(A)] : [cos(B) - sec(B)] : [cos(C) + sec(A)sec(B)]$ si l'angle en C est obtus.

Le calcul montre que dans tous les cas, ces coordonnées trilinéaires sont celles du centre au cercle inscrit au triangle tangentiel, mais peuvent correspondre également au centre du cercle circonscrit.

Bisymétrie et invariance

Par une symétrie axiale, l'ordre des côtés du triangle est également inversés. Dans l'image les coordonnées renvoient au triangle (c,b,a) et (en utilisant "|" comme séparateur) l'image d'un point arbitraire $α : β : γ$ est $γ | β | α$ . Si $f$ est une fonction centrale du triangle, l'image de son centre est $f (c, a, b) | f (b, c, a) | f (a, b, c)$ ce qui, par bisymétrie, revient à $f (c, b, a) | f (b, a, c) | f (a, c, b)$ . Comme il s'agit également du entre du triangle correspondant $f$ relativement au triangle $(c, b, a)$ , la bisymétrie assure que tous les centres du triangle sont invariants par symétrie. Comme les rotations et les translations peuvent être vus comme des réflexions doubles, elles doivent également préserver les centres du triangle. Ces invariance donner une justification pour la définition.

Terminologie alternative

D'autres noms pour la dilatation sont l'agrandissement, l'agrandissement isotrope et les homothéties.

Géométries non-euclidiennes et autres

L'étude des centres du triangle renvoie traditionnellement à la géométrie euclidienne, mais les centres du triangle peuvent être recherche dans une géométrie non-euclidienne[9]. Les centres du triangle dans la géométrie sphérique peuvent être définis par la trigonométrie sphérique[10]. Les centres du triangle qui ont la même forme pour les géométries euclidienne et hyperbolique peut être exprimés par gyrotrigonométrie[11]^,[12]^,[13]. En géométrie non euclidienne, l'hypothèse que la somme des angles intérieurs du triangle valant 180° doit être écartée.

Les centres des tétraèdres ou de simplexes de dimension supérieure peuvent aussi être définies, par analogie avec les triangle en deux dimensions[13].

Voir aussi

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangle center » (voir la liste des auteurs).

(en) Clark Kimberling, « Triangle centers » (consulté le 23 mai 2009) : « Unlike squares and circles, triangles have many centers. The ancient Greeks found four: incenter, centroid, circumcenter, and orthocenter. A fifth center, found much later, is the Fermat point. Thereafter, points now called nine-point center, symmedian point, Gergonne point, and Feuerbach point, to name a few, were added to the literature. In the 1980s, it was noticed that these special points share some general properties that now form the basis for a formal definition of triangle center »
(en) Clark Kimberling, « Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle », Mathematics Magazine, vol. 67, n^o 3,‎ juin 1994, p. 163–187 (DOI 10.2307/2690608, JSTOR 2690608)
(en) Clark Kimberling, « This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000) », sur Encyclopedia of Triangle Centers
Eric W Weisstein, « Triangle Center », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource. (consulté le 25 mai 2009)
Eric W Weisstein, « Triangle Center Function », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource. (consulté le 1^er juillet 2009)
(en) « Bicentric Pairs of Points », sur Encyclopedia of Triangle Centers
Eric W Weisstein, « Kimberling Center », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource. (consulté le 25 mai 2009)
Eric W Weisstein, « Major Triangle Center », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource (consulté le 25 mai 2009)
(en) Robert A. Russell « Non-Euclidean Triangle Centers », 2019.
(en) Rob Johnson, « Spherical Trigonometry », sur West Hills Institute of Mathematics
(en) Abraham A. Ungar, « Hyperbolic Barycentric Coordinates », The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 6, n^o 1,‎ 2009, p. 1-35 (lire en ligne)
(en) Abraham A. Ungar, « Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach », Springer Science & Business Media,‎ 2010 (lire en ligne)
(en) Abraham Ungar, Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry : A Comparative Introduction, World Scientific, 2010 (lire en ligne)

Liens externes

(en) Manfred Evers, On Centers and Central Lines of Triangles in the Elliptic Plane
(en) Manfred Evers, On the geometry of a triangle in the elliptic and in the extended hyperbolic plane
(en) Clark Kimberling, Triangle Centers sur le site de l'Université d'Evansville
(en) Ed Pegg, Triangle Centers in the 2D, 3D, Spherical and Hyperbolic sur Wolfram Research.
(en) Paul Yiu, A Tour of Triangle Geometry sur le site de la Florida Atlantic University.

Portail de la géométrie

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[1] (en) Clark Kimberling, « Triangle centers » (consulté le 23 mai 2009) : « Unlike squares and circles, triangles have many centers. The ancient Greeks found four: incenter, centroid, circumcenter, and orthocenter. A fifth center, found much later, is the Fermat point. Thereafter, points now called nine-point center, symmedian point, Gergonne point, and Feuerbach point, to name a few, were added to the literature. In the 1980s, it was noticed that these special points share some general properties that now form the basis for a formal definition of triangle center »

[2] (en) Clark Kimberling, « Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle », Mathematics Magazine, vol. 67, n^o 3,‎ juin 1994, p. 163–187 (DOI 10.2307/2690608, JSTOR 2690608)

[3] (en) Clark Kimberling, « This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000) », sur Encyclopedia of Triangle Centers

[wolf1-4] Eric W Weisstein, « Triangle Center », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource. (consulté le 25 mai 2009)

[5] Eric W Weisstein, « Triangle Center Function », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource. (consulté le 1^er juillet 2009)

[6] (en) « Bicentric Pairs of Points », sur Encyclopedia of Triangle Centers

[7] Eric W Weisstein, « Kimberling Center », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource. (consulté le 25 mai 2009)

[8] Eric W Weisstein, « Major Triangle Center », sur MathWorld–A Wolfram Web Resource (consulté le 25 mai 2009)

[9] (en) Robert A. Russell « Non-Euclidean Triangle Centers », 2019.

[10] (en) Rob Johnson, « Spherical Trigonometry », sur West Hills Institute of Mathematics

[11] (en) Abraham A. Ungar, « Hyperbolic Barycentric Coordinates », The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 6, n^o 1,‎ 2009, p. 1-35 (lire en ligne)

[12] (en) Abraham A. Ungar, « Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach », Springer Science & Business Media,‎ 2010 (lire en ligne)

[barycalc-13] (en) Abraham Ungar, Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry : A Comparative Introduction, World Scientific, 2010 (lire en ligne)