Centre de gravité

Pour les objets complexes, comme des machines, on détermine les coordonnées x_G et y_G par élingage : on fait des essais de levage et l'on ajuste la position du point d'accroche des élingues jusqu'à obtenir l'équilibre.

On peut également poser l'objet sur plusieurs balances, au moins trois. La position du centre de gravité est alors le barycentre des positions des balances pondérées par le poids mesuré. Par exemple, pour déterminer le centre de gravité d'une voiture, on peut disposer une balance sous chaque roue.

On ne peut pas déterminer l'altitude z_G, sauf à faire des essais d'élingage ou de pesée avec une autre position de l'objet.

Considérons un objet ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dont la masse volumique au point M vaut ${\displaystyle \rho \left(\mathrm {M} \right)}$ et qui est situé dans le champ de gravité ${\displaystyle {\vec {g}}\left(\mathrm {M} \right)}$. La position du centre de gravité ${\displaystyle \mathrm {G} _{g}}$ est définie par la relation suivante :

${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}{\overrightarrow {\mathrm {G} _{g}\mathrm {M} }}\wedge {\vec {\pi }}\left(\mathrm {M} \right)~\mathrm {dV} ={\vec {0}}}$

où ${\displaystyle {\vec {\pi }}\left(\mathrm {M} \right)}$ est le vecteur poids volumique définit par : ${\displaystyle {\vec {\pi }}\left(\mathrm {M} \right)=\rho \left(\mathrm {M} \right){\vec {g}}\left(\mathrm {M} \right)}$.

Cette relation traduit le fait que le moment du poids par rapport au centre de gravité est nul.

Nous supposons ici que le champ de gravité ${\displaystyle {\vec {g}}}$ est homogène ; le centre de gravité est alors confondu avec le centre de masse.

Le centre de gravité des objets symétriques — sphères, parallélépipèdes (quelconques, rectangles ou cubes), prismes droits, solides de Platon — et homogènes se situe à leur centre géométrique. Si l'objet présente un élément de symétrie, le centre de gravité se situe sur cet élément de symétrie :

• symétrie de révolution (pièce composée de troncs de cône, sphères tronquées, cylindres tous coaxiaux) : le centre de gravité se situé sur l'axe de symétrie ;
• symétrie plane : le centre de gravité se situé sur le plan de symétrie.

Si l'objet est fait d'une tôle plane d'épaisseur constante, le centre de gravité est situé sur le plan passant au milieu de la tôle, et sur la normale passant par le centre de gravité du polygone.

Ouverture de la boîte d'entrée d'un échangeur de chaleur.

Dans le cas d'un ensemble rigide, composé de n sous-ensembles dont les centres de gravité sont G_i et les poids p_i, le centre de gravité de l'ensemble est le barycentre des centres de gravité G_i pondérés par les poids p_i :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\frac {1}{p}}\sum _{1}^{n}p_{i}{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{i}}$

où p est le poids total, p = ∑p_i.

Par exemple, considérons la boîte d'entrée d'un échangeur de chaleur ci-contre[1].

Les coordonnées des centres de gravité sont, en millimètres (unité usuelle en chaudronnerie) :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{1}{\begin{pmatrix}1200\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{2}{\begin{pmatrix}770\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{5}{\begin{pmatrix}507\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{10}{\begin{pmatrix}790\\-537\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{11}{\begin{pmatrix}790\\-546\\0\\\end{pmatrix}}{\text{.}}}$

Dans les calculs, les cotes sont converties en mètres :

p = 310 + 610 + 806 + 103 + 64 = 1 893 N ;

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {310\times 1,2+610\times 0,77+806\times 0,507+103\times 0,79+64\times 0,79}{1893}}=0,733\ \mathrm {m} =733\ \mathrm {mm} \\y_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {-103\times 0,537-64\times 0,546}{1893}}=-0,044\ \mathrm {m} =-44\ \mathrm {mm} \\z_{\mathrm {G} }=\ &0\\\end{aligned}}\right.}$

On présente souvent les calculs sous la forme d'un tableau.

Soit

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {1387,272}{1893}}=0,733\ \mathrm {m} =733\ \mathrm {mm} \\y_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {-83,855}{1893}}=-0,044\ \mathrm {m} =-44\ \mathrm {mm} \\z_{\mathrm {G} }=\ &0\\\end{aligned}}\right.}$

Détermination du centre de gravité par la méthode du funiculaire

On peut utiliser la méthode du dynamique et du funiculaire pour déterminer la position du centre de gravité. En effet, si l'on considère des éléments discrets on peut imaginer le système en équilibre sur une pointe, celle-ci exerçant une force ${\displaystyle -{\vec {\mathrm {P} }}}$. On a donc à résoudre un problème de statique à force parallèles, à ceci près que l'on connaît l'intensité de toutes les forces, et que l'inconnue est la droite d'action de l'une d'elles (${\displaystyle -{\vec {\mathrm {P} }}}$).

Pour procéder :

1. Sur le dynamique, on place les vecteurs poids les uns derrière les autres, dans l'ordre des pièces prises de gauche à droite.
2. On choisit un point appelé pôle, et l'on trace les droites joignant le pôle aux extrémités des vecteurs (droites polaires) ; on numérote ces droites de haut en bas.
3. On trace les parallèles aux droites polaires sur la figure pour former une ligne brisée ; par exemple, la droite 3', parallèle à la droite 3 séparant les vecteurs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$, est tracée entre les droites d'action de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$.
4. Les parallèles 0' et 4' aux deux droites polaires extrêmes sont tracées depuis les extrémités de la ligne brisées ; l'intersection de ces droites donne l'abscisse du centre de gravité.
5. Pour déterminer l'ordonnée, on tourne la figure d'un quart de tour et on applique à nouveau la méthode.

Pour déterminer le centre de gravité d'une plaque de forme complexe, on peut découper cette plaque en bandes, appliquer un poids à chaque bande et appliquer la même méthode.

• 
  Détermination du centre de gravité d'un groupe de rectangles (Asger Ostenfeld, Teknisk Elasticitetslære, Forfatterens Forlag (Copenhague, 1898), planche 3)
• 
  Détermination du centre de gravité d'un rail (op. cit. planche 4)

Le théorème de Guldin permet de déterminer simplement le centre de gravité d'un demi-cercle

Les théorèmes de Guldin s'appliquent pour les pièces de révolution. Ils mettent en relation

• la position du centre de gravité de l'arc générant une coque, la longueur de l'arc et l'aire de la coque ;
• la position du centre de gravité de la surface générant un solide, l'aire de cette surface et le volume de ce solide.

On peut ainsi déterminer la position du centre de gravité.

Étudions une coque hémicylindrique ; vue en bout, on voit un demi-cercle. Le diamètre perpendiculaire à la corde divise ce demi-cercle en deux quarts de cercle égaux ; pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve donc sur ce diamètre.

Un demi-cercle, de longueur l = πr, tournant autour de sa corde, génère une sphère d'aire A = 4πr². Le centre de gravité parcourt donc un périmètre p vérifiant

${\displaystyle \mathrm {A} =pl\Rightarrow p={\frac {\mathrm {A} }{l}}={\frac {4\pi r^{2}}{\pi r}}=4r}$.

Si r_G est le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, alors

${\displaystyle p=2\pi r_{\mathrm {G} }\Rightarrow r_{\mathrm {G} }={\frac {2r}{\pi }}}$.

Le théorème de Guldin permet de déterminer simplement le centre de gravité d'un demi-disque

Étudions maintenant une plaque en forme de demi-disque d'aire A = 1/2πr². Le diamètre perpendiculaire à la corde divise ce demi-cercle en deux quarts de cercle égaux ; pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve donc sur ce diamètre.

En tournant autour de sa corde, ce demi-disque génère une sphère de volume V = 4/3πr³. Le centre de gravité parcourt donc un périmètre p vérifiant

${\displaystyle \mathrm {V} =p\mathrm {A} \Rightarrow p={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {A} }}={\frac {4/3\pi r^{3}}{\pi r^{2}/2}}={\frac {8}{3}}r}$.

Si r_G est le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, alors

${\displaystyle p=2\pi r_{\mathrm {G} }\Rightarrow r_{\mathrm {G} }={\frac {4r}{3\pi }}}$.

Soient deux points matériels M₁ et M₂ de masses respectives m₁ et m₂, donc de poids respectifs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$. Si ces points sont solidaires (reliés par une barre rigide de poids négligeable), on peut les remplacer par un point matériel unique G de poids ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}={\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$.

Pour que le système soit équivalent d'un point de vue statique, le moment du poids résultant ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$ par rapport à un point quelconque A doit être égal à la somme des moments des forces ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ par rapport à ce point :

${\displaystyle {\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }})={\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})+{\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{2})}$

soit, par définition du moment d'une force,

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AG} }}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}={\overrightarrow {\mathrm {AM} }}_{1}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}_{2}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$.

On se place dans un repère orthonormé ${\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}$, z étant l'axe vertical, et l'on note les coordonnées :

M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), G(x_G, y_G, z_G)

et les composantes :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p_{1}\\\end{pmatrix}},{\vec {\mathrm {P} }}_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p_{2}\\\end{pmatrix}},{\vec {\mathrm {P} }}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p\\\end{pmatrix}}}$

avec

${\displaystyle p_{1}=\|{\vec {\mathrm {P} }}_{1}\|,p_{2}=\|{\vec {\mathrm {P} }}_{2}\|,p=p_{1}+p_{2}}$.

Le point A est quelconque, on peut donc calculer le moment par rapport à O pour simplifier :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}_{1}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}_{2}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$

soit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{\mathrm {G} }p\\x_{\mathrm {G} }p\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-p_{1}y_{1}\\p_{1}x_{1}\\0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-p_{2}y_{2}\\p_{2}x_{2}\\0\\\end{pmatrix}}}$

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&y_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}{p}}\\&x_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

On peut refaire le calcul en considérant que le poids est orienté selon l'axe x ; cela revient à tourner l'ensemble rigide {M₁, M₂} d'un quart de tour dans le plan vertical (x, z), et à considérer que le repère est lié à l'ensemble rigide {M₁, M₂}. On obtient alors une nouvelle relation similaire pour les coordonnées en z, soit finalement :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}{p}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}{p}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}z_{1}+p_{2}z_{2}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

Le centre de gravité est donc le barycentre des points matériels pondérés par leur poids. On peut étendre ce résultat à un ensemble de n points M_i(x_i, y_i, z_i) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}x_{i}}{p}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}y_{i}}{p}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}z_{i}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec p = ∑p_i. Il présente toutes les propriétés géométriques du barycentre.

Le champ de gravité étant supposé homogène, on a

p_i = m_i⋅g

p = (∑m_i)⋅g

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}y_{i}}{m}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}z_{i}}{m}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec m = ∑m_i. On retrouve bien la définition du centre de masse.

Soit un objet homogène de masse volumique ρ. Considérons un volume de matière infinitésimal dV autour d'un point M ; c'est un point matériel de masse dm = ρ(M)dV et de poids dp = dm⋅g.

Le calcul est similaire au cas discret, mais la somme devient une intégrale (l'intégrale est une somme sur un ensemble continu) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int x(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gx(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[2ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int y(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gy(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[2ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int z(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gz(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

avec ${\displaystyle p=\int \mathrm {d} p}$. Par ailleurs, si g est uniforme :

p = mg avec la masse ${\displaystyle m=\int \rho (\mathrm {M} )\mathrm {dV} }$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )x(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )y(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )z(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

ce qui est la définition du centre de masse.

Si la masse volumique est uniforme, alors

${\displaystyle m=\rho \int \mathrm {dV} =\rho \mathrm {V} }$

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int x(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int y(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int z(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).