Anneau principal

Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique.

Définitions

Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, ab = ba. Il est dit intègre lorsqu'il est commutatif, a au moins deux éléments et vérifie la condition suivante : pour tous éléments a et b de A tels que ab soit nul, un au moins des éléments a et b est nul. Cette propriété a pour conséquence que tout élément non nul de A est simplifiable, c'est-à-dire que si a est un élément non nul de A, si b et c sont deux éléments de A tels que ab = ac (resp. ba = ca), alors b est égal à c. La simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est donc toujours valable. Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre.

Un idéal J est un sous-groupe additif de A stable par multiplication par n'importe quel élément a de A, ainsi si j est élément de J, aj l'est aussi, ou encore aJ est inclus dans J.

Un idéal J de l'anneau A est dit principal s'il est composé des multiples d'un élément donné de l'anneau, autrement dit s'il existe un élément a de A tel que J est égal à aA.
Un anneau est dit quasi-principal si tous ses idéaux sont principaux[1] ; il est dit principal s'il est quasi-principal et intègre[2].

Exemples et contre exemples

Corps commutatifs

Tout corps commutatif K est un anneau trivialement principal. En effet, ses deux seuls idéaux sont {0} (engendré par 0) et K (engendré par 1).

Anneaux euclidiens

Un anneau euclidien est un anneau disposant d'une division euclidienne. Un tel anneau est toujours principal (cf. l'article détaillé). Des exemples de cette nature sont donnés par l'anneau ℤ des entiers relatifs ou encore l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps K, par exemple celui des rationnels, des réels ou des complexes.

Tous les anneaux principaux ne sont pas euclidiens :

Dans le corps des complexes, le sous-anneau ℤ[ω], où ω = (1 + $i$ √19)/2, est principal mais pas euclidien[3].

Démonstration

Il n'existe pas d'idéal de ℤ[ω] de norme 2 ou 3 :
En effet, la norme d'un idéal de ℤ[ω] est de la forme ac² avec a et c entiers tels que X² + X + 5 possède une racine dans ℤ/aℤ.
L'anneau ℤ[ω] est principal :
L'analyse du groupe des classes de ℤ[ω] montre que s'il existe dans cet anneau des idéaux non principaux, alors il en existe de norme inférieure ou égale à 2√19/ $π$ , donc de norme 2 (car 2√19/ $π$ est inférieur à 2,8), ce qui est impossible d'après le point précédent.
Le groupe des unités de ℤ[ω] est réduit à {1, –1} :
Cf. cas élémentaire d < 0 du calcul du groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques.
L'anneau ℤ[ω] n'est pas euclidien :
Raisonnons par l'absurde, soit δ un stathme euclidien normalisé sur ℤ[ω]\{0}. Il prend donc la valeur 1 uniquement sur les unités de l'anneau, 1 et –1.
Soit z un élément de ℤ[ω]\{0, 1, –1} tel que δ(z) soit la plus petite valeur strictement supérieure à 1 et atteinte par le stathme. Le reste de la division euclidienne d'un élément quelconque de ℤ[ω] par z est soit nul, soit une unité. Le quotient ℤ[ω]/zℤ[ω] contient donc deux ou trois éléments : la classe nulle, et les classes (éventuellement égales) de 1 et de –1. Or ce nombre d'éléments est la norme de l'idéal zℤ[ω], dont on a vu qu'elle ne peut être égale à 2 ou 3. Cette impossibilité termine la démonstration.

Certains anneaux d'entiers de corps de nombres

Un corps de nombres est un sous-corps K du corps ℂ des complexes, de dimension finie en tant qu'espace vectoriel sur le sous-corps ℚ des rationnels. L'anneau de ses entiers algébriques est constitué des éléments de K dont le polynôme minimal est à coefficients dans l'anneau ℤ des entiers relatifs.

Si le corps est quadratique, c'est-à-dire si tout élément s'exprime comme une combinaison linéaire à coefficients rationnels de 1 et d'une racine carrée d'un entier sans facteur carré d, l'anneau associé peut être principal. C'est le cas par exemple pour d = –1 (entiers de Gauss), d = –3 (entiers d'Eisenstein) ou d = 5.

Les anneaux principaux de cette nature sont relativement rares. Les neuf qui ne sont pas inclus dans l'ensemble ℝ des réels sont donnés par le théorème de Stark-Heegner. La question de savoir s'il existe une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers soit principal est encore ouverte.

En théorie des nombres, un autre type d'anneaux principaux est celui des anneaux de valuation discrète. Ce type d'anneau est un cas particulier d'anneau local, c'est-à-dire d'anneau n'ayant qu'un unique idéal maximal. Si un anneau est de Dedekind alors son localisé en un idéal premier est un anneau local et principal.

Exemple issu de l'analyse

Les anneaux principaux ne se trouvent pas uniquement en algèbre, l'exemple suivant[4] est utilisé en analyse complexe :

Soit X une partie compacte de ℂ. L'anneau des fonctions holomorphes de X dans ℂ (c'est-à-dire qui sont holomorphes sur un voisinage ouvert de X) est principal.

Démonstration

Soit J un idéal de cet anneau A. Toute fonction non nulle f de J est holomorphe et n'admet qu'un nombre fini de racines à un ordre de multiplicité fini. Il existe donc un polynôme p_f tel que le quotient f/p_f soit une fonction de A qui ne s'annule pas sur X. Le quotient est une unité, ce qui montre que la famille de polynômes (p_f) est génératrice de l'idéal J.

Soit M l'idéal de ℂ[X] engendré par la famille (p_f). Cet idéal est principal car l'anneau des polynômes à coefficients dans ℂ l'est. Soit m un polynôme engendrant M. Par définition m est élément de M et donc élément de J. Par construction m engendre chaque p_f et donc chaque f. L'idéal engendré par m est donc égal à J, ce qui démontre que J est principal.

Contre-exemples

Les anneaux intègres non principaux sont nombreux.

Une première famille de contre-exemples est fournie par les anneaux de polynômes. Pour tout anneau intègre A qui n'est pas un corps, l'anneau A[X] n'est pas principal ni même de Bézout. En effet, si a est un élément non nul et non inversible de A, l'idéal engendré par X et a n'est pas principal[5].

Les entiers algébriques fournissent des anneaux non principaux. L'anneau ℤ[ $i$ √5] est un contre-exemple fourni dans l'article « Entier quadratique ».

Tout idéal de l'anneau ℤ/6ℤ est principal, mais cet anneau n'est pas principal, faute d'intégrité.

Propriétés

Arithmétique

L'arithmétique élémentaire sur l'anneau des entiers relatifs se fonde sur quelques théorèmes clés. À l'exception de la division euclidienne qui n'est pas définie dans un anneau principal quelconque, ces grands théorèmes s'appliquent encore dans ce contexte. Ils permettent de généraliser les raisonnements arithmétiques à tous les anneaux principaux.

Le théorème de Bachet-Bézout est encore vérifié :

Deux éléments a et b de A non tous deux nuls possèdent toujours un PGCD d, et il existe u et v éléments de A tels que au + bv = d.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal engendré par a et b est principal et qu'un générateur de cet idéal est diviseur commun à a et b.

Ce théorème peut se reformuler : l'équation diophantienne ax + by = c admet des solutions si et seulement si c est un multiple du PGCD de a et de b.

La seule existence des PGCD (équivalente à celle des PPCM) a pour conséquence le lemme de Gauss :

Soient a, b et c trois éléments de A tels que a divise bc. Si a est premier avec b, alors a divise c.

En effet, si PGCD(a, b) = 1 et si a divise bc, alors a divise PGCD(ac, bc) = PGCD(a, b)×c = c.

Enfin, le théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié :

Un anneau principal est factoriel, c'est-à-dire que tout élément de l'anneau se décompose de manière unique (à l'ordre près des facteurs et à produit près par des inversibles) en un produit de facteurs irréductibles.

Un élément de l'anneau est dit irréductible si chacune de ses décompositions en produit de deux facteurs contient exactement un inversible. Ainsi dans ℤ, –2 est irréductible car toute décomposition en un produit de deux facteurs contient nécessairement 1 ou –1 comme facteur, et l'autre facteur (–2 ou 2) n'est pas inversible. La décomposition est essentiellement unique. Par exemple, 6 = 2 × 3 = (–3) × (–2) mais ces deux décompositions sont les mêmes, à l'ordre près et à un facteur inversible près.

Idéal

Un élément non nul a est premier si et seulement si A/aA est un corps.

Soit b un élément dont la classe dans l’anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de aA. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre que b est inversible. L'idéal aA est dit maximal, c'est-à-dire que les seuls idéaux contenant aA sont lui-même et A tout entier.

Réciproquement si A/aA est un corps, soit b un diviseur de a qui ne soit pas un élément inversible, alors il existe un élément c de l'anneau tel que bc = a et la classe de b est un diviseur de zéro. Le seul diviseur de zéro d'un corps est 0. Ceci montre que b est dans l'idéal aA et b est un multiple de a. L'élément b est à la fois un diviseur et un multiple de a, ceci montre que c est inversible. Ainsi, tout diviseur de a non inversible est égal à a, à un facteur inversible près, ce qui démontre que a est premier.

On remarque que si a est premier l'idéal est aussi premier (faire attention au fait que {0} est aussi un idéal premier, mais non maximal), on en déduit la proposition :

Les idéaux premiers non nuls de A sont les idéaux maximaux.

Propriétés noethériennes

Un anneau principal est noethérien, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété suivante :

Toute suite croissante d'idéaux est stationnaire[6].
Tout idéal est de type fini.

Ainsi, les anneaux quasi-principaux sont les anneaux noethériens dont tout idéal de type fini est principal, c'est-à-dire qui sont pseudo-bézoutiens, et les anneaux principaux sont les anneaux de Bézout noethériens. La noethérianité entraîne de nombreuses propriétés ; les deux suivantes sont vraies pour tous les anneaux commutatifs, mais imposent l'usage d'une forme plus élaborée de l'axiome du choix pour une démonstration du cas général :

Tout idéal distinct de l'anneau est inclus dans un idéal maximal.

En effet, si un idéal distinct de l'anneau n'est inclus dans aucun idéal maximal, il est possible de construire une suite croissante d'idéaux qui n'est pas stationnaire et l'anneau n'est pas noethérien (donc pas principal).

Un élément de A est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.

En effet, un élément a de A est non inversible si et seulement si l'idéal aA est distinct de A c'est-à-dire, d'après la proposition précédente, si et seulement s'il est inclus dans un idéal maximal.

Anneau de Dedekind

Il existe un type particulier d'anneaux noethériens important en théorie des nombres, les anneaux de Dedekind.

Un anneau de Dedekind est un anneau intègre noethérien A, dont tout idéal premier non nul est maximal, et tel que A est intégralement clos, c'est-à-dire que les seuls éléments du corps des fractions de A qui sont entiers sur A sont les éléments A. (Rappelons qu'un élément est entier sur A si et seulement s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A.)

Tout anneau principal est de Dedekind

Démonstration

Soit A un anneau principal. On sait déjà que tout idéal premier de A est maximal et que A est noethérien et factoriel. Comme il est factoriel, c'est un anneau à PGCD donc (en utilisant le lemme de Gauss) intégralement clos. Il est donc de Dedekind.

Un anneau principal est donc à la fois factoriel et de Dedekind. La réciproque est vraie ; plus précisément :

Dans un anneau factoriel, si tout idéal premier non nul est maximal, alors tout idéal premier est principal[7] ;
Soit A un anneau commutatif dont tout idéal premier est principal, alors A est quasi-principal[8].

Démonstrations

Soient A un anneau factoriel dont tout idéal premier non nul est maximal et P un idéal premier de A, alors P est principal.
On peut supposer que P contient un élément x non nul. Cet élément étant non inversible (car P est premier donc distinct de A), il est produit d'éléments premiers (par factorialité) et P contient au moins l'un de ces facteurs, p (par primalité). L'idéal principal pA est alors premier et non nul, donc maximal par hypothèse. Comme il est inclus dans P, il lui est égal, donc P est principal.
Soit A un anneau commutatif non quasi-principal, alors A possède un idéal premier non principal.
Dans l'ensemble inductif des idéaux non principaux de A, soit P un élément maximal : montrons qu'il est premier, en supposant qu'il contient un produit ab mais ne contient pas a et en montrant qu'alors il contient b. L'idéal P + aA contenant strictement P, il est principal : P + aA = cA. L'ensemble I des éléments x de A pour lesquels xc appartient à P est alors un idéal et P est inclus dans cI. On va en déduire que I n'est pas principal : soit d l'un quelconque de ses éléments, alors P n'est pas inclus dans dcA (car il le contient, strictement), ce qui prouve que I n'est pas inclus dans dA. Ainsi, I est un idéal non principal contenant P, donc égal à P. Il suffit, pour conclure que b appartient bien à P, de remarquer qu'il appartient à I car bcA = b(P + aA) = bP + abA ⊂ P.

Module sur un anneau principal

Un module sur un anneau est aux anneaux ce qu'un espace vectoriel est à un corps. Un module sur un anneau A intègre est un groupe abélien disposant d'une multiplication externe dotée des mêmes propriétés que celle d'un espace vectoriel.

Un module est dit libre s'il admet une base. Il est dit de type fini s'il admet une famille génératrice finie.

La situation n'est pas la même que celle d'un espace vectoriel. Un module n'admet pas nécessairement une base. Par exemple, un ℤ-module, c'est-à-dire un groupe abélien, ne peut être libre que s'il est sans torsion, c'est-à-dire si son seul élément d'ordre fini est l'élément neutre, ce qui exclut entre autres tous les groupes abéliens non triviaux d'exposant fini.

Dans le cas d'un anneau principal A, la configuration est proche de celle des espaces vectoriels :

Soit M un A-module libre de rang m (fini ou infini). Tout sous-module de M est libre de rang inférieur ou égal à m[9].

Dans le cas d'un anneau euclidien, il existe un algorithme effectif permettant de déterminer une base. Il se trouve dans l'article Théorème des facteurs invariants.

Par ailleurs, puisque tout anneau principal est noethérien :

Un module de type fini sur un anneau principal est noethérien.

Généralisations

Les anneaux principaux disposent de tous les théorèmes qui fondent l'arithmétique sur l'ensemble des entiers relatifs. En revanche, il existe de nombreux anneaux intègres qui ne sont pas principaux.

Géométrie algébrique

La géométrie algébrique étudie principalement les variétés algébriques, c'est-à-dire les hypersurfaces d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps K définies comme les racines d'un idéal de l'anneau des polynômes à n indéterminées. Ainsi la sphère de R³ est définie comme les racines des polynômes à coefficients réels multiple de X² + Y² + Z² – 1. Or l'anneau des polynômes à plusieurs variables n'est pas un anneau principal.

Un anneau factoriel est par définition un anneau où un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié. Le lemme d'Euclide est vrai dans un tel anneau, ce n'est en revanche pas le cas du théorème de Bachet-Bézout, qui caractérise[10] en fait les anneaux principaux parmi les anneaux factoriels. Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans un corps sont par exemple factoriels mais pas principaux.

Théorie algébrique des nombres

La solution utilisée pour les anneaux de polynômes n'est pas toujours pertinente. Les anneaux d'entiers algébriques, par exemple, ne sont pas toujours factoriels. Une autre approche permet néanmoins de retrouver une arithmétique analogue.

L'anneau O_K des entiers algébriques d'un corps de nombres K n'est en général pas principal. En revanche, tout idéal est de type fini, c'est-à-dire engendré par une famille finie d'éléments : on dit que O_K est un anneau noethérien (la théorie des anneaux noethériens dépasse celle de l'algèbre commutative, contexte des anneaux principaux). Plus précisément, tout idéal non nul de O_K est un sous-O_K-module libre de rang égal au degré [K:ℚ] de l'extension.

De plus, O_K est intégralement clos ; c'est même un anneau de Dedekind. Ces propriétés permettent d'établir une arithmétique encore analogue à celle des entiers relatifs. Les nombres premiers sont remplacés par les idéaux premiers et tout idéal admet une unique décomposition en idéaux premiers, résultat qui remplace le théorème fondamental de l'arithmétique perdu pour cette configuration.

Notes et références

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Springer, 2006, 422 p. (ISBN 978-3-540-34398-1), chap. 7, §1, exercice 6.
Bourbaki 2006, VII.1.1.
Cet exemple est développé p. 53-55 dans Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]. Pour une démonstration bien plus élémentaire, voir l'article Norme de Dedekind-Hasse.
Cet exemple est tiré de Antoine Chambert-Loir, « Algèbre commutative », université de Rennes 1, 2005, p. 81 et 83.
Voir cet exercice corrigé de la leçon « Anneau » sur Wikiversité.
Pour une démonstration, voir par exemple le lemme du paragraphe « Factorialité de A, décomposition primaire » dans la leçon sur les anneaux sur Wikiversité.
(en) Paolo Aluffi, Algebra : Chapter 0, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 104), 2009, 713 p. (ISBN 978-0-8218-4781-7, présentation en ligne), p. 267.
(en) M. Scott Osborne, Basic Homological Algebra, Springer, coll. « GTM » (n^o 196), 2000, 398 p. (ISBN 978-0-387-98934-1, lire en ligne), p. 343.
Une démonstration dans le cas particulier où m est fini est donnée par A. Ducros, « Modules de type fini sur un anneau principal », sur Université de Rennes I, p. 1-2 et reproduite dans le chapitre « Module sur un anneau principal » sur Wikiversité. Pour le cas général (qui utilise le lemme de Zorn), on pourra consulter l'appendice 2 de Serge Lang, Algèbre [détail des éditions].
Cette caractérisation est énoncée dans l'exercice 6 du chapitre 2 du Cours d'algèbre de Perrin, p. 61, avec la précision que l'hypothèse de noethérianité n'est pas nécessaire. Voir aussi l'article Anneau de Bézout.

Bibliographie

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chap. 8 : Dimension, chap. 9 : Anneaux locaux noethériens complets, Hermann, 1983 (ISBN 2225787166)
Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]
Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]

Articles connexes

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[1] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Springer, 2006, 422 p. (ISBN 978-3-540-34398-1), chap. 7, §1, exercice 6.

[2] Bourbaki 2006, VII.1.1.

[3] Cet exemple est développé p. 53-55 dans Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]. Pour une démonstration bien plus élémentaire, voir l'article Norme de Dedekind-Hasse.

[4] Cet exemple est tiré de Antoine Chambert-Loir, « Algèbre commutative », université de Rennes 1, 2005, p. 81 et 83.

[5] Voir cet exercice corrigé de la leçon « Anneau » sur Wikiversité.

[6] Pour une démonstration, voir par exemple le lemme du paragraphe « Factorialité de A, décomposition primaire » dans la leçon sur les anneaux sur Wikiversité.

[7] (en) Paolo Aluffi, Algebra : Chapter 0, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 104), 2009, 713 p. (ISBN 978-0-8218-4781-7, présentation en ligne), p. 267.

[8] (en) M. Scott Osborne, Basic Homological Algebra, Springer, coll. « GTM » (n^o 196), 2000, 398 p. (ISBN 978-0-387-98934-1, lire en ligne), p. 343.

[9] Une démonstration dans le cas particulier où m est fini est donnée par A. Ducros, « Modules de type fini sur un anneau principal », sur Université de Rennes I, p. 1-2 et reproduite dans le chapitre « Module sur un anneau principal » sur Wikiversité. Pour le cas général (qui utilise le lemme de Zorn), on pourra consulter l'appendice 2 de Serge Lang, Algèbre [détail des éditions].

[10] Cette caractérisation est énoncée dans l'exercice 6 du chapitre 2 du Cours d'algèbre de Perrin, p. 61, avec la précision que l'hypothèse de noethérianité n'est pas nécessaire. Voir aussi l'article Anneau de Bézout.