Idéal maximal

Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre.

Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal

Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull.

Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.

Motivations

L'arithmétique demande parfois de travailler sur des anneaux commutatifs compliqués comme certains parmi les entiers algébriques. Les théorèmes habituellement utilisés pour bâtir la théorie, comme celui de la décomposition en facteurs premiers, n'est plus entièrement vérifié. Dans ce cas, l'unicité de la décomposition (à l'ordre et aux éléments inversibles près) n'est pas exacte.

Pour néanmoins pouvoir construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore ppcm, ont souvent des définitions équivalentes pour les anneaux.

Dans un anneau principal, la notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles. Elle est notamment utilisée dans la théorie des polynômes.

Définitions

Un idéal maximal d'un anneau commutatif est un idéal tel qu'il existe exactement deux idéaux le contenant, lui-même et l'anneau entier.
Un élément irréductible est un élément non nul dont l'idéal engendré est un élément maximal de l'ensemble des idéaux principaux et propres (c'est-à-dire différents de l'anneau tout entier).

La dernière définition est équivalente à la suivante :

Un élément irréductible est un élément tel que toute décomposition en deux facteurs contient un et un seul élément inversible.

Exemples

Les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) ℤ des entiers relatifs sont les idéaux de la forme pℤ, pour p un nombre premier. Localiser cet anneau permet de définir les anneaux d'entiers p-adiques.
Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) K[X] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Dans le cas où le corps est algébriquement clos (par exemple pour le corps des nombres complexes), ce sont les polynômes de degré 1. Localiser ces anneaux amène aux anneaux de séries formelles.
Dans le cas de l'anneau des polynômes à coefficients dans l'anneau des entiers relatifs, un polynôme irréductible n'engendre pas forcément un idéal maximal : l'idéal engendré par X est strictement inclus dans celui engendré par 2 et X.
Si K est un corps commutatif, le seul idéal maximal est {0}.
Les anneaux ne possédant qu'un unique idéal maximal sont d'une importance particulière : ce sont les anneaux locaux. Ils sont en général obtenu après un processus de localisation qui consiste à rendre inversibles suffisamment d'éléments pour qu'il ne reste qu'un idéal maximal.

Propriétés

Anneau quotient

Un idéal I d'un anneau commutatif A est maximal si, et seulement si, l'anneau quotient A/I est un corps.

En conséquence, tout idéal maximal est premier.

Cette propriété permet par exemple de construire le corps de rupture d'un polynôme irréductible.

Démonstration

Supposons que I est maximal et montrons que tout élément x non nul de A/I est inversible. Un tel élément x du quotient est la classe d'un élément a de A qui n'appartient pas à I. Comme A est commutatif, I + aA est un idéal. Comme cet idéal contient strictement I, il est égal à A. Cela signifie qu'il existe un élément i de I et un élément b de A tels que i + ab = 1. Cette égalité montre que la classe x de a est inversible, d'inverse la classe de b. En conséquence, A/I est bien un corps.
Réciproquement, supposons que A/I est un corps et montrons que tout idéal J de A contenant strictement I est égal à A. Un tel J contient un a n'appartenant pas à I. La classe de a est un élément inversible donc il existe un élément b de A et un élément i de I tels que i + ab = 1. Cette égalité montre que 1 est élément de J et donc J est égal à A. En conséquence, I est bien maximal.

Anneau principal

Dans le cas d'un anneau principal, les notions d'irréductibilité et de primalité sont confondues :

Pour tout idéal I d'un anneau principal, les propriétés suivantes sont équivalentes :

I est premier et non nul ;

I est engendré par un élément non nul et non inversible et qui, s'il divise un produit ab, divise a ou b ;

I est engendré par un élément irréductible ;

I est maximal.

Une démonstration est donnée dans le § « Anneau principal » de l'article sur les idéaux premiers.

Théorème de Krull et éléments inversibles

Le théorème de Krull (équivalent à l'axiome du choix) assure que dans tout anneau commutatif, un idéal propre est toujours inclus dans au moins un idéal maximal.

En conséquence, un élément de l'anneau est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal. En effet, un élément est non inversible si et seulement si l'idéal qu'il engendre est propre.

Voir aussi

Lien externe

Christian Squarcini, « Anneaux et corps », 2005

Bibliographie

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]
Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions]

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