Soit n un nombre naturel non nul. Tout groupe isomorphe au produit semi-direct ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, où A est un groupe cyclique d'ordre n, B un groupe d'ordre 2 et τ l'homomorphisme de B dans Aut(A) qui applique l'élément non neutre de B sur l'automorphisme x ↦ x^-1 de A, est appelé un groupe diédral d'ordre 2n.

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe engendré par un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que

bab^-1 (= bab) = a^-1.

Soit H un groupe, soient x, y des éléments de H tels que xⁿ = 1, y² = 1 et

yxy^-1 (= yxy) = x^-1.

Alors

(i) Il existe un et un seul homomorphisme de G dans H qui applique a sur x et b sur y;

(ii) si x est d'ordre n et y d'ordre 2, si y n'appartient pas à <x>, alors l'homomorphisme en question est injectif.

De l'hypothèse ${\displaystyle bab^{-1}(=bab)=a^{-1}}$ et du fait que ${\displaystyle t\mapsto btb^{-1}}$ définit un automorphisme de G, on tire que

(1) ${\displaystyle \qquad ba'b^{-1}=a'^{-1}}$ pour tout a' dans <a>,

d'où ${\displaystyle b<a>b^{-1}=\ <a>}$, donc b normalise <a>.
Puisque a et b sont supposés engendrer G, <a> est donc un sous-groupe normal de G et G = <a> <b>.
Par hypothèse, b n'appartient pas à <a>, donc, puisque b est d'ordre 2, ${\displaystyle <a>\cap <b>=1}$. Donc G est produit semi-direct interne de <a> par <b>.
D'autre part, d'après un théorème du chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle \alpha }$ de <a> dans H qui applique a sur x et il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle \beta }$ de <b> dans H qui applique b sur y.
Pour tout a' dans <a> et tout b' dans <b>, nous avons, d'après (1),

${\displaystyle (2)\qquad \alpha (b'a'b'^{-1})=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha (a')\ \mathrm {si} \ b'=1,\\\alpha (a'^{-1})\ \mathrm {si} \ b'=b.\end{array}}\right.}$

D'autre part,

${\displaystyle (3)\qquad \beta (b')\ \alpha (a')\beta (b')^{-1}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha (a')\ \mathrm {si} \ b'=1,\\y\ \alpha (a')\ y^{-1}\ \mathrm {si} \ b'=b.\end{array}}\right.}$

Puisque a' est une puissance de a, ${\displaystyle \alpha (a')}$ est une puissance de ${\displaystyle \alpha (a)=x}$, donc, comme on a tiré (1) de l'hypothèse ${\displaystyle bab^{-1}=a^{-1}}$, on tire de l'hypothèse ${\displaystyle yxy^{-1}=x^{-1}}$ que

${\displaystyle y\alpha (a')y^{-1}=\alpha (a')^{-1}.}$

En portant ceci dans (3) et en comparant alors (2) et (3), on trouve que

${\displaystyle \alpha (b'a'b'^{-1})=\beta (b')\ \alpha (a')\beta (b')^{-1}}$

pour tout a' dans <a> et tout b' dans <b>.
Puisque G est produit semi-direct interne de <a> par <b>, il résulte donc du point (i) d'un théorème (« Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne ») du chapitre Produit semi-direct qu'il existe un et un seul homomorphisme ${\displaystyle \lambda }$ de G dans H qui coïncide avec ${\displaystyle \alpha }$ sur <a> et avec ${\displaystyle \beta }$ sur <b>. Puisque a et b engendrent G, cela revient à dire que ${\displaystyle \lambda }$ est le seul homomorphisme de G dans H qui applique a sur ${\displaystyle \alpha (a)=x}$ et b sur ${\displaystyle \beta (b)=y}$.
Nous avons donc démontré le point (i) de l'énoncé.

Si x est d'ordre n et y d'ordre 2, les homomorphismes ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont injectifs; si de plus y n'appartient pas à <x>, alors, puisque y est d'ordre 2, nous avons ${\displaystyle <x>\cap <y>=1,}$ autrement dit ${\displaystyle \alpha (\langle a\rangle )\cap \beta (\langle b\rangle )=1}$, donc, d'après le point (ii) du théorème « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne » du chapitre Produit semi-direct, ${\displaystyle \lambda }$ est injectif, ce qui démontre le point (ii) de l'énoncé.

Soit n un nombre naturel ≥ 1, soit G un groupe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) G est un groupe diédral d'ordre 2n;

b) G est engendré par un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab^-1 (= bab) = a^-1.

Supposons d’abord la condition a) satisfaite et prouvons b).
Par définition d'un groupe diédral, il existe un groupe cyclique A d'ordre n et un groupe B d'ordre 2 tel que G soit isomorphe au produit semi-direct externe ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, où τ est l'unique homomorphisme de B dans Aut(A) qui applique l'élément de B distinct du neutre sur l'automorphisme t ↦ t^-1 de A. Puisque la condition b) de l'énoncé subsiste par passage à un groupe isomorphe, nous pouvons nous contenter de la démontrer dans le cas où G est égal à ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$. Choisissons un générateur a₀ de A et désignons par b₀ l'élément de B distinct du neutre. Désignons par a et b respectivement les éléments (a₀, 1) et (1, b₀) de G = ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$. Tout élément de G = ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$ est de la forme (a₀^r, b₀^s) pour certains nombres naturels r et s, autrement dit, vu la définition de la loi de composition dans le produit semi-direct externe, est de la forme a^r b^s, ce qui montre que a et b engendrent G = ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$. Puisque la première inclusion canonique de A dans A × B induit un isomorphisme de A sur le sous-groupe A × {1} de ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, l'image a de a₀ par cette inclusion est d'ordre n. De même, puisque la seconde inclusion canonique de B dans A × B induit un isomorphisme de B sur le sous-groupe {1} × B de ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, b est un élément d'ordre 2 de G. Comme noté dans le chapitre Produit semi-direct, énoncé intitulé « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne »,

${\displaystyle \ (1,b_{0})(a_{0},1)(1,b_{0})^{-1}=(\tau _{b_{0}}(a_{0}),1)}$,

autrement dit

${\displaystyle \ bab^{-1}=(a_{0}^{-1},1)}$,

${\displaystyle \ bab^{-1}=(a_{0},1)^{-1}}$,

${\displaystyle \ bab^{-1}=a^{-1}}$.

Enfin, puisque la seconde composante de b n’est pas égale à 1, b n'appartient pas à <a>. Nous avons donc prouvé que a) entraîne b).

Supposons maintenant b) satisfaite et prouvons a).
Le plus simple serait sans doute de montrer, comme dans la démonstration du théorème précédent, que G est produit semi-direct interne de <a> par <b> et d'appliquer le théorème « Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe » du chapitre Produit semi-direct, mais voici une démonstration qui repose sur le théorème précédent.
Nous avons vu dans la première partie de la démonstration que si A désigne un groupe cyclique d'ordre n et ${\displaystyle a_{0}}$ un générateur de A, si B désigne un groupe d'ordre 2 et ${\displaystyle b_{0}}$ l'élément non neutre de B, si ${\displaystyle \tau :B\rightarrow Aut(A)}$ est l'homomorphisme ainsi désigné plus haut, alors l'élément ${\displaystyle x=(a_{0},1)}$ est d'ordre n dans ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, l'élément ${\displaystyle y=(1,b_{0})}$ est d'ordre 2 dans ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, y n'appartient pas au sous-groupe <x> de ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, ${\displaystyle yxy^{-1}=x^{-1}}$ et ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$ est engendré par x et y.
Donc, d'après le théorème précédent (« Homomorphismes partant d'un groupe diédral »), il existe un homomorphisme de G dans ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$ qui applique a sur x et b sur y et il existe un homomorphisme de ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$ dans G qui applique x sur a et y sur b. Ces deux homomorphismes sont clairement réciproques, donc G est isomorphe à ${\displaystyle A\times _{\tau }B}$, ce qui prouve que la condition a) de l'énoncé est satisfaite.

Soit n un nombre naturel ≥ 1, soit G un groupe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) G est un groupe diédral d'ordre 2n;

b) G est un groupe d'ordre 2n qui comprend un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab = a^-1.

L'implication a) ${\displaystyle \Rightarrow }$ b) résulte immédiatement du théorème précédent. Si b) est satisfaite, <a> est un sous-groupe d'ordre n et <b> un sous-groupe d'ordre 2 tels que <a> ⋂ <b> = 1. L'ensemble <a> <b> compte donc 2n éléments (formule du produit, démontrée dans le chapitre Classes modulo un sous-groupe) et est donc égal à G tout entier, donc a et b engendrent G et on peut appliquer le corollaire précédent.

Le groupe diédral D₄ est un groupe de Klein. Pour n ≥ 3, D_2n n’est pas commutatif.

D'après les théorèmes précédents, D₄ est un goupe d'ordre 4 et comprend au moins deux éléments d'ordre 2. Puisque tout groupe d'ordre 4 est ou bien un groupe cyclique ou bien un groupe de Klein et qu'un groupe cyclique d'ordre 4 n'a qu'un élément d'ordre 2, D₄ est donc un groupe de Klein. Si n ≥ 3, D_2n comprend un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 tels que bab^-1 = bab = a^-1. Si D_2n était commutatif, on aurait bab^-1 = a, d'où a^-1 = a, d'où a² = 1, ce qui est impossible puisque a est d'ordre n ≥ 3.

Soit G un groupe diédral d'ordre 2n, soit A un sous-groupe cyclique d'ordre n de G (on sait qu’il en existe au moins un). Soit t un élément de G - A. Alors t est d'ordre 2 et pour tout élément x de A, txt = x^-1. Si n ≥ 3, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre n.

Si n = 1, le théorème est banal. Si n = 2, on le déduit facilement du fait que G est alors un groupe de Klein. Supposons donc n ≥ 3. Il existe un sous-groupe cyclique A₀ d'ordre n de G et un élément b d'ordre 2 de G - A₀ satisfaisant à la condition : pour tout élément x de A₀, bxb = x^-1. (Pour le prouver, on peut par exemple utiliser un corollaire ci-dessus selon lequel G comprend un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à ${\displaystyle \langle a\rangle }$ et tel que bab = a^-1; puisque ${\displaystyle x\mapsto bxb=bxb^{-1}}$ définit un automorphisme (intérieur) de G, on a alors ${\displaystyle ba^{r}b=a^{-r}}$ pour tout entier rationnel r, d'où l'assertion à justifier avec ${\displaystyle A_{0}=\langle a\rangle }$. On peut aussi se reporter à la façon dont on a défini le groupe diédral à l'aide d'un produit semi-direct externe au début du chapitre et utiliser la dernière assertion du théorème « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne » du chapitre Produit semi-direct.) Commençons par démontrer les assertions de l'énoncé sur t dans le cas où A est égal à A₀. Les éléments de la forme ab, où a parcourt A₀, n'appartiennent pas à A₀ et sont en quantité n, donc ils constituent G - A₀ tout entier. Donc t est de la forme ab pour un certain élément a de A₀. Prouvons que t est d'ordre 2. Puisque t n'appartient pas à A₀ et est donc distinct de 1, il suffit de prouver que t² = 1. Cela revient à prouver que, pour tout a dans A₀, (ab)² = 1. Or (ab)² = abab = a(bab) = aa^-1 = 1, donc t est bien d'ordre 2. En outre, si x est un élément de A₀, nous avons txt = (ab)x(ab) = ab(xa)b. Comme xa appartient à A₀, nous pouvons remplacer b(xa)b par (xa)^-1 = a^-1x^-1, d'où txt = aa^-1x^-1 = x^-1. Montrons maintenant que (dans notre hypothèse n ≥ 3) A₀ est le seul sous-groupe cyclique d'ordre n de G. Un sous-groupe cyclique A d'ordre n de G est engendré par un élément c d'ordre n > 2. Nous avons vu que tout élément de G - A₀ est d'ordre 2, donc c doit appartenir à A₀, donc A est contenu dans A₀. Puisque A et A₀ ont le même ordre fini n, ils doivent être égaux. Ainsi, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre n, ce qui prouve la dernière assertion de l'énoncé. Il en résulte aussi que ce que nous avons démontré pour A₀ est vrai pour « tout » sous-groupe cyclique d'ordre n de G, ce qui achève la démonstration.

Tout groupe fini engendré par deux éléments d'ordre 2 (distincts ou non) est diédral.

Soit G un groupe fini engendré par deux éléments a et b d'ordre 2. Il est clair que G est engendré par ab et b. Nous avons b(ab)b = ba. Puisque a et b sont d'ordre 2, ba est l'inverse de ab, donc l'égalité précédente peut s'écrire

${\displaystyle (3)\qquad b(ab)b=(ab)^{-1}.}$

Montrons que b n'appartient pas à <ab>. Supposons que, par l'absurde, b appartienne à <ab>. Alors b commute avec ab, donc la relation (3) entraîne ab = (ab)^-1. Ainsi, ab est d'ordre 1 ou 2, donc <ab> = {1, ab}. Puisque b est supposé appartenir à <ab> et n’est pas égal à 1, on doit avoir b = ab, d'où a = 1, contradiction. Cette contradiction prouve que b n'appartient pas à <ab>.
Dès lors, nos résultats montrent, compte tenu d'un précédent théorème, que G est un groupe diédral d'ordre 2n, où n est l’ordre de ab.

Soient ϱ une rotation du plan autour d'un point c et σ une symétrie axiale par rapport à une droite passant par ce point. Alors σ ϱ σ = ϱ^-1.

Puisque ϱ est une rotation autour du point c, elle est le produit de deux symétries axiales par rapport à des droites passant par c^[5], donc ϱ σ est le produit de trois telles symétries. Comme le produit d'un nombre impair de symétries axiales par rapport à des droites passant par c est une symétrie axiale par rapport à une droite passant par c^[6], ϱ σ est donc une symétrie axiale (par rapport à une droite passant par c). Comme une symétrie axiale est d'ordre 2, nous avons donc

ϱ σ ϱ σ = 1.

En multipliant à gauche par ϱ^-1, nous trouvons σ ϱ σ = ϱ^-1, comme annoncé.

Soient n un nombre naturel ≥ 2 et P un polygone régulier à n sommets. Les isométries du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment (pour la composition) un groupe diédral d'ordre 2n.

Il est clair que les isométries du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment un sous-groupe du groupe des isométries du plan. Soit G ce sous-groupe. Prouvons que G est un groupe diédral d'ordre 2n.
Le groupe G contient un sous-groupe cyclique d'ordre n, à savoir le sous-groupe engendré par la rotation ϱ d'angle 2π/n considérée plus haut.
Il est clair que G opère de façon naturelle sur l’ensemble des n sommets de P. Cette opération est transitive, car l'opération de <ϱ> est déjà transitive, comme le montre la relation notée plus haut : a_k = ϱ^k(a₀), vraie pour tout k.
Déterminons le stabilisateur du sommet a₀. Soit f un élément de ce stabilisateur. Puisque f est une isométrie du plan, f fixe le centre c de P. (Si n = 2, noter qu'une isométrie conserve le milieu. Si n ≥ 3, noter que c est le seul point du plan équidistant des sommets.) Donc f a au moins deux points fixes, à savoir c et a₀. Une isométrie du plan qui admet au moins deux points fixes est l'identité ou la symétrie axiale autour de la droite joignant ces deux points^[7], donc f est égale à l'identité ou à la symétrie axiale par rapport à la droite ca₀. Il est clair que l'identité appartient bien au stabilisateur de a₀.
Prouvons que la symétrie axiale par rapport à ca₀, que nous désignerons par f, appartient elle aussi à ce stabilisateur. Comme f fixe a₀, il suffit de prouver qu'elle appartient à G, c'est-à-dire qu'elle transforme tout sommet de P en un sommet de P. Pour cela, prouvons que, pour tout nombre naturel k ≥ 0, f(a_k) est un sommet de P. Nous avons f(a_k) = f(ϱ^k(a₀)). D'après le précédent lemme, f ϱ^k = ϱ^-k f, donc notre résultat peut s'écrire f(a_k) = ϱ^-k(f(a₀)). Puisque f fixe a₀, ceci peut encore s'écrire f(a_k) = ϱ^-k(a₀), donc f(a_k) est bien un sommet de P, donc f appartient à G et appartient donc au stabilisateur de a₀.
Ainsi, le stabilisateur de a₀ comprend exactement deux éléments (l'identité et la symétrie par rapport à la droite ca₀). Nous avons vu que l'action de G sur l’ensemble des sommets est transitive, autrement dit que l’ensemble des sommets tout entier est la seule orbite pour cette opération. Comme le cardinal d'une G-orbite est égal à l'indice dans G du stabilisateur d'un élément de cette orbite, le groupe G est donc d'ordre 2n. Nous avons vu qu’il comprend une rotation ϱ d'angle 2π/n autour de c telle que ϱ(a_j) = a_j+1 pour tout j. Nous avons vu aussi qu’il comprend la symétrie axiale f par rapport à la droite ca₀ et que f ϱ^k f= ϱ^-k pour tout nombre naturel k, en particulier pour k = 1. Enfin, puisqu'une symétrie axiale n’est pas une rotation, f n'appartient pas à < ϱ >. Il résulte donc d'un théorème ci-dessus que G est un groupe diédral d'ordre 2n.

Soit n un nombre naturel ≥ 3. Les permutations de Z/nZ de la forme t_a : x ↦ x + a (translations) et les permutations de Z/nZ de la forme s_a : x ↦ a - x constituent un groupe de permutations de Z/nZ (c'est-à-dire un sous-groupe du groupe des permutations de Z/nZ) qui est un groupe diédral d'ordre 2n.

L'ensembles des t_a : x ↦ x + a et l’ensemble des s_a : x ↦ a - x sont disjoints. En effet, s'il existait des éléments a et b de Z/nZ tels que t_a = s_b, alors on aurait, pour tout élément x de Z/nZ, x + a = b - x, autrement dit 2x = b - a, d'où 2 × 1 = 2 × 0, ce qui est impossible vu notre hypothèse n ≥ 3. Donc la réunion de ces deux ensembles de permutations est de cardinal 2n.
On vérifie facilement que la composée de deux permutations appartenant à cette réunion appartient elle aussi à cette réunion :

${\displaystyle t_{a}\circ t_{b}=t_{a+b},}$

${\displaystyle t_{a}\circ s_{b}=s_{a+b},}$

${\displaystyle s_{a}\circ t_{b}=s_{a-b},}$

${\displaystyle s_{a}\circ s_{b}=t_{a-b}}$.

De plus, l'inverse de t_a est t_-a et s_a est sa propre inverse.
Les t_a et les s_a constituent donc bien un groupe de permutations de Z/nZ. Montrons que ce groupe est engendré par deux éléments d'ordre 2, par exemple s₀ et s₁. Nous avons

${\displaystyle s_{1}\circ s_{0}=t_{1}}$

et il est clair que t₁ engendre toutes les translations, donc s₀ et s₁ engendrent toutes les translations; en outre,

${\displaystyle t_{a}\circ s_{0}=s_{a},}$

donc s₀ et s₁ engendrent toutes les s_a.
Puisque le groupe formé par les t_a et les s_a est d'ordre 2n et est engendré par deux éléments d'ordre 2, il résulte d'un théorème de la première section que ce groupe est un groupe diédral d'ordre 2n.

Soit n un nombre naturel ≥ 3. Le groupe symétrique S_n contient un sous-groupe diédral d'ordre 2n.

Le groupe S_n est isomorphe au groupe des permutations de Z/nZ et il résulte du théorème précédent que le groupe des permutations de Z/nZ contient un sous-groupe diédral d'ordre 2n.

Soit A un groupe abélien (fini ou infini), noté multiplicativement. Nous définirons le groupe diédral généralisé construit sur A comme le produit semi-direct de A par ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ correspondant à l'unique homomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ dans Aut(A) qui applique l'élément d'ordre 2 de ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ sur l'automorphisme ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ de A.