Prouvons que le centre de ${\displaystyle G\times H}$ est le produit ${\displaystyle Z(G)\times Z(H)}$ des centres de G et de H. Prouvons tout d’abord que ${\displaystyle Z(G)\times Z(H)}$ est contenu dans le centre de ${\displaystyle G\times H}$. Il s'agit de prouver que si x appartient au centre de G et y au centre de H, (x,y) commute avec tout élément (g,h) de ${\displaystyle G\times H}$. Nous avons (x,y) (g,h) = (xg, yh). Puisque x appartient au centre de G, xg peut être remplacé par gx; de même, puisque y appartient au centre de H, yh peut être remplacé par hy. Nous avons donc (x,y) (g,h) = (gx, hy), ce qui peut s'écrire (x,y) (g,h) = (g,h) (x,y), ce qui montre bien que (x,y) commute avec tout élément (g,h) de ${\displaystyle G\times H}$. Nous avons donc prouvé que ${\displaystyle Z(G)\times Z(H)}$ est contenu dans le centre de ${\displaystyle G\times H}$. Prouvons l'inclusion réciproque. Il s'agit de prouver que si un élément (x, y) de ${\displaystyle G\times H}$ commute avec tout élément de ${\displaystyle G\times H}$, alors x commute avec tout élément de G et y avec tout élément de H. Soit g un élément de G. Par hypothèse, (x, y) commute avec (g, 1), donc x commute avec g. De même, si h est un élément de H, (x, y) commute avec (1, h), donc y commute avec h.

À tout élément g de G, faisons correspondre la famille ${\displaystyle (g\,G_{i})_{i\in I}}$; il est clair que nous définissons ainsi un homomorphisme de G dans ${\displaystyle \prod _{i\in I}G/G_{i}}$. Si un élément g de G appartient au noyau de cet homomorphisme, gG_i est l'élément neutre de G/G_i pour tout i, autrement dit, g appartient à chaque G_i. Par hypothèse, ceci entraîne g = 1, donc notre homomorphisme est injectif, donc G est isomorphe à l'image de cet homomorphisme.

Pour chaque élément j de I, désignons par f_j la j-ième injection canonique de ${\displaystyle \ G_{j}}$ dans ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$. D'après la théorie, les ${\displaystyle \ f_{i}(G_{i})}$ engendrent ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$. Pour chaque j, ${\displaystyle \ f_{j}(X_{j})}$ engendre ${\displaystyle \ f_{j}(G_{j})}$, donc les ${\displaystyle \ f_{i}(X_{i})}$ engendrent ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$. D'autre part, puisque, pour chaque j, ${\displaystyle \ X_{j}}$ comprend l'élément neutre de ${\displaystyle \ G_{j}}$, il est clair que ${\displaystyle \ f_{j}(X_{j})}$ est contenu dans ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$, qui est donc une partie génératrice de ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$.

Prendre tous les ${\displaystyle \ G_{i}}$ égaux à un même groupe monogène non trivial G, choisir un générateur g de G et prendre toutes les parties ${\displaystyle \ X_{i}}$ égales à ${\displaystyle \ \{g\}}$. Le sous-groupe de ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$ engendré par ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ est la diagonale de ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$ (c'est-à-dire l’ensemble des éléments de ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$ dont toutes les composantes sont égales) et n'est donc pas ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$ tout entier (si I compte au moins deux éléments).

G admet au moins un sous-groupe qui est produit direct d'une famille de groupes d'ordre 2, à savoir le sous-groupe 1 (qui est produit direct de la famille vide de sous-groupes de G). Parmi les sous-groupes de G qui sont produits directs de sous-groupes d'ordre 2, choisissons-en un, soit H, dont l’ordre est maximal. Il s'agit de prouver que H = G. Supposons que, par absurde, H ne soit pas G tout entier. Choisissons un élément x de G qui n'appartient pas à H. Par hypothèse, x² = 1, donc le sous-groupe <x> de G engendré par x est {1, x}, donc <x> ⋂ H = 1. D'autre part, les hypothèses de l'énoncé entraînent que G est commutatif (exercice de la série Groupes, premières notions), donc, d’après ce qui précède, <x> H est produit direct de <x> et de H. Comme H est produit direct de sous-groupes d'ordre 2, il en résulte (« associativité » de la somme restreinte interne) que <x> H est lui aussi produit direct de sous-groupes d'ordre 2, ce qui contredit l'hypothèse de maximalité sur l’ordre de H. La contradiction prouve que H = G, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve l'énoncé.

Désignons par f l’application ${\displaystyle H\times K\rightarrow hK:(h,k)\mapsto hk^{-1}}$. On vérifie facilement que deux éléments (h, k) et (h', k') de ${\displaystyle H\times K}$ ont la même image par f si et seulement s'ils appartiennent à la même classe à gauche modulo le sous-groupe D de ${\displaystyle H\times K}$ formé par les éléments de la forme (a, a), où a parcourt ${\displaystyle H\cap K}$. D'après le principe de théorie des ensembles rappelé dans l'énoncé, l'image HK de f est donc équipotente à l’ensemble des classes à gauche de ${\displaystyle H\times K}$ suivant D. Autrement dit, le cardinal de l’ensemble HK est égal à l'indice de D dans ${\displaystyle H\times K}$. Comme D est évidemment équipotent (et même isomorphe) à ${\displaystyle H\cap K}$, la formule du produit en résulte.

Prouvons d’abord que les G_i engendrent G. Soit x un élément de G. Il s'agit de prouver que x appartient au sous-groupe de G engendré par les G_i. Le sous-groupe <x> de G engendré par x est de type fini, donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, x appartient au sous-groupe de <x> engendré par les <x> ⋂ G_i. A fortiori, x appartient au sous-groupe de G engendré par les G_i. Nous avons donc prouvé que les G_i engendrent G.
Prouvons maintenant que si i, j sont deux différents éléments de I, tout élément de G_i commute avec tout élément de G_j. Soient x un élément de G_i et y un élément de G_j; il s'agit de prouver que x et y commutent. Le sous-groupe <x,y> de G engendré par x et y est de type fini, x appartient à <x,y> ⋂ G_i et y appartient à <x,y> ⋂ G_j, donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, x et y commutent. Nous avons donc prouvé que pour i ≠ j, G_i et G_j se centralisent mutuellement. (Il en résulte que pour tous i, j dans I, G_i et G_j se normalisent mutuellement. Puisque les G_i engendrent G, ils sont donc normaux dans G.)
Enfin, soient i₁, ... , i_n des éléments de I deux à deux distincts, soient x₁, ... , x_n des éléments de ${\displaystyle \ G_{i_{1}},\ldots ,G_{i_{n}}}$ respectivement, supposons que

(1) x₁ ... x_n = 1

et prouvons que

(2) x₁ = ... = x_n = 1.

Désignons par H le sous-groupe <x₁, ... , x_n> de G engendré par x₁, ... , x_n. Alors H est de type fini et x_j appartient à ${\displaystyle H\cap G_{i_{j}}}$ pour tout j (1 ≤ j ≤ n). Il résulte donc de (1) et des hypothèses de l'énoncé que x₁ = ... = x_n = 1, comme annoncé.
Nos trois résultats montrent que G est somme restreinte interne de la famille (G_i)_i∈I.

Soit G = V un groupe de Klein (produit direct de deux groupes d'ordre 2). Désignons par a, b et c les éléments de G distincts de l'élément neutre, posons G₁ = <a>, G₂ = <b> et H = <c>. Alors G est somme restreinte interne (autrement dit, ici, produit direct interne) de G₁ et G₂, H est évidemment un sous-groupe de type fini de G et H n’est pas somme restreinte interne de H ⋂ G₁ et H ⋂ G₂, puisque H ⋂ G₁ = H ⋂ G₂ = 1.