Dire qu'une suite ${\displaystyle u}$ a pour limite ${\displaystyle +\infty }$ quand ${\displaystyle n}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ signifie que tout intervalle de la forme ${\displaystyle ]A,+\infty [}$ (avec ${\displaystyle A}$ réel) contient tous les termes ${\displaystyle u_{n}}$ à partir d'un certain rang, autrement dit : si pour tout réel A, ${\displaystyle u_{n}>A}$ à partir d'un certain rang. On note alors :

On note ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }u_{n}=+\infty }$

On dira aussi que la suite diverge vers ${\displaystyle +\infty }$

Montrer que la suite ${\displaystyle (n^{2})}$ diverge vers ${\displaystyle +\infty }$.

Soit ${\displaystyle A}$ un réel, on cherche à résoudre ${\displaystyle u_{n}>A}$, c’est-à-dire ${\displaystyle n^{2}>A}$. Si ${\displaystyle A<0}$, il suffit de prendre ${\displaystyle n}$ quelconque. Sinon on pose : ${\displaystyle n_{0}={\sqrt {A}}}$ et l'on a ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow n^{2}>A}$.

La suite est donc bien divergente.

Dire qu'une suite ${\displaystyle u}$ a pour limite ${\displaystyle -\infty }$ quand ${\displaystyle n}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ signifie que tout intervalle de la forme ${\displaystyle ]-\infty ,A[}$ (avec ${\displaystyle A}$ réel) contient tous les termes ${\displaystyle u_{n}}$ à partir d'un certain rang, autrement dit : si pour tout réel A, ${\displaystyle u_{n}<A}$ à partir d'un certain rang.

On note ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }u_{n}=-\infty }$

On dira aussi que la suite diverge vers ${\displaystyle -\infty }$.

Soit ${\displaystyle l}$ un réel. Dire qu'une suite ${\displaystyle u}$ a pour limite ${\displaystyle l}$ ou converge vers ${\displaystyle l}$ ou tend vers ${\displaystyle l}$ quand ${\displaystyle n}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ signifie que tout intervalle ouvert contenant ${\displaystyle l}$ contient toutes les valeurs ${\displaystyle u_{n}}$ à partir d'un certain rang.

On note ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=l}$.

Montrer que la suite ${\displaystyle ({\dfrac {1}{\sqrt {n}}})_{n\geq 1}}$ converge vers 0.

On se donne un intervalle ${\displaystyle I=]-\alpha$ ;+\beta [} où ${\displaystyle \alpha >0}$ et ${\displaystyle \beta >0}$. Il s'agit de résoudre ${\displaystyle -\alpha <{\dfrac {1}{\sqrt {n}}}<\beta }$.

L'inégalité de gauche est évidente.

Pour celle de droite, on a alors : ${\displaystyle {\sqrt {n}}>{\dfrac {1}{\beta }}}$ soit ${\displaystyle n>{\dfrac {1}{\beta ^{2}}}}$.

Donc, dès que ${\displaystyle n>{\dfrac {1}{\beta ^{2}}}}$ on a ${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {n}}}\in I}$. La suite et donc convergente vers 0.

Soit ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite géométrique, de raison ${\displaystyle q}$ et de premier terme ${\displaystyle u_{0}\neq 0}$.

• Si ${\displaystyle q>1}$, alors ${\displaystyle u_{n}}$ diverge vers ${\displaystyle +\infty }$ (respectivement ${\displaystyle -\infty }$) si ${\displaystyle u_{0}>0}$ (respectivement si ${\displaystyle u_{0}<0}$) .
• Si ${\displaystyle q=1}$, alors ${\displaystyle u_{n}}$ est constante donc converge vers ${\displaystyle u_{0}}$.
• Si ${\displaystyle -1<q<1}$, alors ${\displaystyle u_{n}}$ converge vers ${\displaystyle 0}$.
• Si ${\displaystyle q\leq -1}$, alors ${\displaystyle u_{n}}$ diverge (pas de limite).