Série numérique/Convergence absolue

Critère de Cauchy

Le critère de convergence suivant est un corollaire immédiat du théorème correspondant sur les suites de Cauchy.

Théorème

Une série numérique $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ converge si (et seulement si) :

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall q>p\geq N\quad \left|S_{q}-S_{p}\right|=\left|\sum _{k=p+1}^{q}u_{k}\right|<\varepsilon .

Séries absolument convergentes

Définition

Une série $\sum u_{n}$ est dite absolument convergente lorsque la série $\sum |u_{n}|$ est convergente.
Une série convergente non absolument convergente est dite semi-convergente.

Théorème

Toute série absolument convergente est convergente.

La démonstration est immédiate en utilisant (l'inégalité triangulaire et) le critère de Cauchy. On montre même que la convergence est inconditionnelle, c'est-à-dire conservée par permutation des termes.

La réciproque est fausse : par exemple, la « série harmonique alternée » $\sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}$ et la série $\sum {\frac {\sin n}{n}}$ sont semi-convergentes : voir les exercices sur les séries $\sum {\frac {1}{n}}$ et $\sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}$ , la série $\sum {\frac {|\sin n|}{n}}$ et la série $\sum {\frac {\sin n}{n}}$ .

Séries semi-convergentes

Contrairement aux séries absolument convergentes, une série semi-convergente peut avoir n'importe quelle somme lorsqu'on modifie l'ordre de ses termes. Plus précisément :

Théorème de réarrangement de Riemann

Soit $\sum u_{n}$ une série semi-convergente. Pour tout couple $(\lambda ,\mu )$ tel que $-\infty \leq \lambda \leq \mu \leq +\infty$ , il existe une bijection ${\displaystyle \sigma$ telle que la suite $(S'_{n})$ des sommes partielles de la série de terme général $u'_{n}=u_{\sigma (n)}$ vérifie :

\liminf S'_{n}=\lambda \quad {\text{et}}\quad \limsup S'_{n}=\mu

.

Démonstration

Notons $(a_{n})$ la sous-suite de $(u_{n})$ constituée des termes strictement positifs et $(b_{n})$ celle des termes négatifs ou nuls. Puisque $\sum u_{n}$ est semi-convergente, on a

\sum a_{n}=+\infty

et

\sum b_{n}=-\infty

.

On écrit le « réarrangement » (la bijection $\sigma$ ) sous la forme

u'_{1},u'_{2},\dots =a_{1},\dots ,a_{m_{1}},b_{1},\dots ,b_{k_{1}},a_{m_{1}+1},\dots ,a_{m_{2}},b_{k_{1}+1},\dots ,b_{k_{2}},\dots

,

où les deux suites $(m_{i})$ et $(k_{i})$ sont choisies comme suit : ayant fixé au préalable deux suites réelles $(\lambda _{n})$ et $(\mu _{n})$ telles que $\lambda _{n}<\mu _{n}$ , $\lambda _{n}\to \lambda$ et $\mu _{n}\to \mu$ , on prend pour $m_{1}$ le plus petit indice tel que $x_{1}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}>\mu _{1}$ (si $\mu _{1}<0$ , on prend donc $m_{1}=0$ , c'est-à-dire $u'_{1}=b_{1}$ ), puis pour $k_{1}$ le plus petit indice tel que $y_{1}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}+\sum _{j=1}^{k_{1}}b_{j}<\lambda _{1}$ , puis pour $m_{2}$ le plus petit indice tel que $x_{2}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}+\sum _{j=1}^{k_{1}}b_{j}+\sum _{i=m_{1}+1}^{m_{2}}a_{i}>\mu _{2}$ , puis pour $k_{2}$ le plus petit indice tel que $y_{2}:=\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i}+\sum _{j=1}^{k_{1}}b_{j}+\sum _{i=m_{1}+1}^{m_{2}}a_{i}+\sum _{j=k_{1}+1}^{k_{2}}b_{j}<\lambda _{2}$ , etc.

Par construction, $0<x_{n}-\mu _{n}\leq a_{m_{n}}\to 0$ et $0<\lambda _{n}-y_{n}\leq -b_{k_{n}}\to 0$ donc les deux sous-suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ de la suite $(S'_{n})$ des sommes partielles tendent respectivement vers $\mu$ et $\lambda$ , et puisque $(S'_{n})$ « oscille entre ces deux sous-suites », toutes ses valeurs d'adhérence sont comprises entre ces deux valeurs.

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