Soient ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière et ${\displaystyle R}$ son rayon de convergence.

• ${\displaystyle \sum a_{n}z_{0}^{n}}$ converge ${\displaystyle \Rightarrow (a_{n}z_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bornée ${\displaystyle \Rightarrow R\geq |z_{0}|}$.
• ${\displaystyle (a_{n}z_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ non bornée ${\displaystyle \Rightarrow \sum a_{n}z_{0}^{n}}$ diverge ${\displaystyle \Rightarrow R\leq |z_{0}|}$.
• ${\displaystyle R}$ ne change pas si l'on modifie un nombre fini de coefficients ${\displaystyle a_{n}}$, ni si l'on multiplie chaque ${\displaystyle a_{n}}$ par ${\displaystyle n^{\alpha }}$, pour un réel fixé ${\displaystyle \alpha }$.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ et ${\displaystyle \sum b_{n}z^{n}}$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs ${\displaystyle R_{a}}$ et ${\displaystyle R_{b}}$.

• ${\displaystyle a_{n}=O(b_{n})\Rightarrow R_{a}\geq R_{b}}$.
• ${\displaystyle a_{n}\sim b_{n}\Rightarrow R_{a}=R_{b}}$.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière telle que ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0}$.

Si ${\displaystyle \exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}}$ alors ${\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}}$.

La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert ${\displaystyle \Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<R\}}$, et la somme est donc continue sur ce disque.

Si la série numérique ${\displaystyle \sum |a_{n}|R^{n}}$ converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé ${\displaystyle {\overline {\Delta _{R}}}}$, et la somme est donc définie continue sur ce disque.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ et ${\displaystyle \sum b_{n}z^{n}}$ deux séries entières de rayon de convergence respectif ${\displaystyle R_{a}}$ et ${\displaystyle R_{b}}$. La série entière ${\displaystyle \sum (a_{n}+b_{n})z^{n}}$ est de rayon de convergence ${\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})}$. De plus, si ${\displaystyle R_{a}\neq R_{b}}$ alors ${\displaystyle R_{0}=\min(R_{a},R_{b})}$. Enfin :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<\min(R_{a},R_{b})\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}+\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}z^{n}}$.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière de rayon de convergence ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{*}}$. La série entière ${\displaystyle \sum (\lambda a_{n})z^{n}}$ a même rayon de convergence ${\displaystyle R}$ et

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<R\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }(\lambda a_{n})z^{n}=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ et ${\displaystyle \sum b_{n}z^{n}}$ deux séries entières de rayon de convergence respectif ${\displaystyle R_{a}}$ et ${\displaystyle R_{b}}$. La série entière ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ où ${\displaystyle c_{n}=\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q}}$ est de rayon de convergence ${\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})}$ et

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<\min(R_{a},R_{b})\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{p=0}^{\infty }a_{p}z^{p}\;\sum _{q=0}^{\infty }b_{q}z^{q}}$.

Le rayon de convergence des deux séries entières ${\displaystyle \sum z^{n}}$ et ${\displaystyle \sum -z^{n}}$ est 1, tandis que celui de ${\displaystyle \sum z^{n}+\sum -z^{n}=\sum 0z^{n}}$ est infini.

Si une série entière ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ converge en un point ${\displaystyle z_{0}}$, alors la convergence est uniforme sur ${\displaystyle [0,z_{0}]}$ (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment).

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière.

• On appelle série entière dérivée la série entière ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}na_{n}z^{n-1}}$ identifiée à ${\displaystyle \sum (n+1)a_{n+1}z^{n}}$. On note D l'opérateur qui à une série entière associe sa série dérivée.
• On appelle série entière primitive la série entière ${\displaystyle \sum {\frac {a_{n}}{n+1}}z^{n+1}}$ identifiée à ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n-1}}{n}}z^{n}}$. On note P l'opérateur qui à une série entière associe sa série primitive.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière de rayon de convergence ${\displaystyle R}$. Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence ${\displaystyle R}$.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière, de rayon de convergence ${\displaystyle R}$ strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ sur ${\displaystyle ]-R,R[}$ et :

${\displaystyle \forall x\in ]-R,R[,S'(x)=D(S)(x)}$

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière, de rayon de convergence ${\displaystyle R}$ strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ sur ${\displaystyle ]-R,R[}$ et :

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ,\forall x\in ]-R,R[,S^{(p)}(x)=\sum _{n=p}^{+\infty }{\frac {n!}{(n-p)!}}a_{n}x^{n-p}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(n+p)!}{n!}}a_{n+p}x^{n}}$.

Soit ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ une série entière, de rayon de convergence ${\displaystyle R}$ strictement positif, de somme S. Alors :

${\displaystyle \forall (a,b)\in ]-R,R[^{2},\int _{a}^{b}S(t)dt=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{n+1}}}$.

La série entière ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n}z^{n}={\frac {1}{1+z}}}$, de rayon de convergence 1, a pour primitive ${\displaystyle \ln(1+z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}z^{n+1}}{n+1}}=-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-z)^{k}}{k}}}$, de même rayon et nulle en 0. (Si ${\displaystyle z\in \left]-1,1\right[}$, cette définition coïncide donc avec le logarithme usuel.)