Ensemble, élément

C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un ensemble est donc une « collection » d'objets qu'on appelle ses éléments. On note ${\displaystyle x\in E}$ pour signifier que l'élément ${\displaystyle x}$ appartient à l’ensemble ${\displaystyle E}$, et ${\displaystyle x\notin E}$ pour dire le contraire.

Partie

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux ensembles. On dit que ${\displaystyle E}$ est inclus dans (ou est une partie de, ou encore est un sous ensemble de) ${\displaystyle F}$, et on note ${\displaystyle E\subset F}$, si et seulement si ${\displaystyle \forall x\ \left(x\in E\Rightarrow x\in F\right)}$.

On note ${\displaystyle {\mathcal {P}}(F)}$ l’ensemble des parties de ${\displaystyle F}$. Ainsi ${\displaystyle E\subset F\Leftrightarrow E\in {\mathcal {P}}(F)}$.

Deux ensembles ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ sont égaux et on écrit ${\displaystyle E=F}$ si et seulement si ${\displaystyle E\subset F}$ et ${\displaystyle F\subset E}$, c'est-à-dire s’ils ont exactement les mêmes éléments.

Enfin, on note ${\displaystyle E\subsetneq F}$ pour signifier ${\displaystyle E\subset F}$ et ${\displaystyle E\neq F}$.

Prédicat

Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble. On appelle prédicat sur ${\displaystyle E}$ la donnée, pour chaque élément ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$, d'une assertion ${\displaystyle P(x)}$.

Exemple :

• Pour tout ${\displaystyle x}$ réel, on définit ${\displaystyle P(x)}$ par : ${\displaystyle x\geq 1}$. C'est un prédicat sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, vrai pour 2 et faux pour 0.

Définition d'un ensemble en compréhension

On a le droit de définir l’ensemble des éléments d'un ensemble ${\displaystyle E}$ vérifiant un prédicat ${\displaystyle P}$, on le note ${\displaystyle \{x\in E/P(x)\}}$. On parle de définition en compréhension. Il est crucial de préciser l’ensemble d'origine des éléments ${\displaystyle x}$. Sinon on pourrait considérer l’ensemble ${\displaystyle E:=\{x/x\notin x\}}$ : a-t-on ${\displaystyle E\in E}$ ?

Ensemble vide

Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble ${\displaystyle E}$ quelconque et l’ensemble ${\displaystyle \emptyset$ :=\{x\in E/x\neq x\}} . De plus ${\displaystyle \emptyset }$ appartient à tous les ensembles. Un tel autre ensemble ${\displaystyle E}$ vérifierait alors ${\displaystyle \emptyset \subset E}$ et ${\displaystyle E\subset \emptyset }$, d'où l'égalité. On parle alors de l'ensemble vide.

Remarque : On a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}}$ qui est donc non vide.

Définition d'un ensemble en extension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ représente l’ensemble dont les éléments sont ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$.

Paire

Étant donnés deux objets ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$, on peut définir l’ensemble les contenant exactement : il s'agit de la paire ${\displaystyle \{x,y\}}$.

Couple

Pour que l’ordre des éléments ait une importance, on définit le couple ${\displaystyle (a,b)}$ par ${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$. On peut vérifier la proposition suivante :

Proposition

${\displaystyle \forall a,b,c,d,\;(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\text{ et }}b=d}$

Démonstration

• ${\displaystyle \Leftarrow }$ est triviale.
• ${\displaystyle \Rightarrow }$ : ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}}$, montrons que ${\displaystyle a=c}$ et ${\displaystyle b=d}$.
  • Si ${\displaystyle a=c}$ alors ${\displaystyle \{a,b\}=\{c,d\}}$ et comme ${\displaystyle a=c}$, on obtient aussi ${\displaystyle b=d}$.
  • Sinon ${\displaystyle a\neq c}$, mais alors ${\displaystyle \{a\}=\{c,d\}}$ et ${\displaystyle \{a,b\}=\{c\}}$. Par suite ${\displaystyle \{c\}=\{a,b\}=\{c,d,b\}}$ et donc ${\displaystyle a=b=c=d}$ qui est absurde ici.

Produit cartésien

On appelle alors produit cartésien de deux ensembles ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$, l’ensemble des couples ${\displaystyle (x,y),\;x\in E,\,y\in F}$. On le note ${\displaystyle E\times F}$, lire « E croix F ». Ceci s'étend pour définir des triplets ${\displaystyle (a,b,c)}$; des quadruplets ${\displaystyle (a,b,c,d)}$; des ${\displaystyle n}$-uplets ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$.

Différence, complémentaire

Définition : différence

On appelle différence A et B dans cet ordre, pour deux parties d'un ensemble E, l’ensemble noté ${\displaystyle A\setminus B:=\{x\in E/x\in A{\text{ et }}x\notin B\}}$.

En particulier on définit pour une partie A d'un ensemble E son complémentaire dans E, noté ${\displaystyle \complement _{E}A}$ ou ${\displaystyle A^{c}}$ s'il n’est pas nécessaire de préciser E.

Exercice : Que dire de ${\displaystyle A\setminus \emptyset }$ ; ${\displaystyle \emptyset \setminus A}$; ${\displaystyle A\setminus A}$, pour ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(E)}$ ?

Intersection, réunion

Définition : intersection

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble ${\displaystyle A\cap B:=\{x\in E\mid x\in A{\text{ et }}x\in B\}}$, lire « A inter B ».

Définition : réunion

On appelle réunion de deux ensembles A et B l’ensemble ${\displaystyle A\cup B:=\{x\in E\mid x\in A{\text{ ou }}x\in B\}}$, lire « A union B ».

Exercice

• Que dire de ${\displaystyle A\cup \varnothing }$ ?
• Que dire de de ${\displaystyle A\cap E}$ pour ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(E)}$ ?
• Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement les propriétés suivantes :

Propriétés des opérations ensemblistes

Soient A, B et C trois parties d'un ensemble E. On a alors les propriétés suivantes :

• commutativité : ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$ et ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ ;
• associativité : ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$ et ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$ ;
• distributivité de ${\displaystyle \cap }$ sur ${\displaystyle \cup }$ : ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$ ;
• distributivité de ${\displaystyle \cup }$ sur ${\displaystyle \cap }$ : ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ ;
• lois de De Morgan : ${\displaystyle E\setminus (A\cap B)=(E\setminus A)\cup (E\setminus B)}$ et ${\displaystyle E\setminus (A\cup B)=(E\setminus A)\cap (E\setminus B)}$.

Différence symétrique

Proposition et définition : différence symétrique

Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
Alors ${\displaystyle (A\cup B)\setminus (A\cap B)}$=${\displaystyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$.
On appelle différence symétrique de A et B cet ensemble qu'on note ${\displaystyle A\Delta B}$, il est formé des éléments qui sont ou bien dans A ou bien dans B.

Exercice :

1. Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
2. Que dire de ${\displaystyle A\Delta \emptyset }$; de ${\displaystyle A\Delta A}$ ?
3. Montrer que ${\displaystyle \cap }$ est distributive sur ${\displaystyle \Delta }$.

Quantificateur existentiel

• On écrit ${\displaystyle \exists x\in E/P(x)}$ pour signifier qu’il existe au moins un x élément de E tel que P(x) soit vrai.
• On écrit ${\displaystyle \exists !x\in E/P(x)}$ pour signifier qu’il existe un unique x élément de E tel que P(x) soit vrai.

Quantificateur universel

• On écrit ${\displaystyle \forall x\in E,P(x)}$ pour signifier que pour tous les éléments x de E, P(x) est vrai.

Négations des quantifications

On a :

• ${\displaystyle {\text{non}}(\exists x\in E/P(x))\Leftrightarrow (\forall x\in E,{\text{non}}\,P(x))}$
• ${\displaystyle {\text{non}}(\forall x\in E,P(x))\Leftrightarrow (\exists x\in E/{\text{non}}\,P(x))}$