${\displaystyle f=u'u}$ pour ${\displaystyle u:x\mapsto x^{2}+x-3}$, donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F=u^{2}/2}$.

${\displaystyle f=u'u^{\frac {7}{3}}}$ pour ${\displaystyle u:x\mapsto x^{3}+x^{2}+x+1}$.

${\displaystyle {\frac {7}{3}}+1={\frac {10}{3}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F={\frac {u^{\frac {10}{3}}}{\frac {10}{3}}}={\frac {3u^{\frac {10}{3}}}{10}}}$.

${\displaystyle f}$ n'est définie que sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$, mais son expression se simplifie en utilisant l'identité remarquable ${\displaystyle (1+a+a^{2})(1-a)=1-a^{3}}$ qui, appliquée à ${\displaystyle a=-{\sqrt {x}}}$, donne : ${\displaystyle f(x)=x^{3/2}+1}$.

${\displaystyle {\frac {3}{2}}+1={\frac {5}{2}}=2+{\frac {1}{2}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{5/2}}{5/2}}+x={\frac {2x^{2}{\sqrt {x}}}{5}}+x}$.

${\displaystyle f}$ n'est définie que sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$. ${\displaystyle f(x)=x^{{\frac {1}{2}}-2}-x^{5-2}+x^{6+{\frac {1}{2}}-2}=x^{-{\frac {3}{2}}}-x^{3}+x^{\frac {9}{2}}}$

${\displaystyle -{\frac {3}{2}}+1=-{\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {9}{2}}+1={\frac {11}{2}}=5+{\frac {1}{2}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{-1/2}}{-1/2}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{11/2}}{11/2}}=-{\frac {2}{\sqrt {x}}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {2x^{5}{\sqrt {x}}}{11}}}$.

Sur chacun des deux intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,-1/2\right[}$ et ${\displaystyle \left]-1/2,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f=2{\frac {u'}{u}}}$ avec ${\displaystyle u(x)=2x+1}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle F(x)=2\ln |u|=\ln \left(u^{2}\right)}$.

Sur chacun des deux intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,0\right[}$ et ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f(x)=x^{4}+2+x^{-4}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{5}}{5}}+2x+{\frac {x^{-3}}{-3}}={\frac {x^{5}}{5}}+2x-{\frac {1}{3x^{3}}}}$.

${\displaystyle f}$ n'est définie que sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$. ${\displaystyle f(x)=1-2x^{-1/2}+x^{-1}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ est

${\displaystyle F(x)=x-2{\frac {x^{1/2}}{1/2}}+\ln x=x-4{\sqrt {x}}+\ln x}$.

${\displaystyle f}$ n'est définie que sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$. ${\displaystyle f(x)=x^{-1/2}-2+x^{1/2}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{1/2}}{1/2}}-2x+{\frac {x^{3/2}}{3/2}}=2{\sqrt {x}}-2x+{\frac {2x{\sqrt {x}}}{3}}}$.

Sur chacun des deux intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,0\right[}$ et ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f(x)=x^{4/3}+x^{1/3}-2x^{-1/3}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{7/3}}{7/3}}+{\frac {x^{4/3}}{4/3}}-2{\frac {x^{2/3}}{2/3}}={\frac {3x^{2}{\sqrt[{3}]{x}}}{7}}+{\frac {3x{\sqrt[{3}]{x}}}{4}}-3{\sqrt[{3}]{x}}^{2}}$.

${\displaystyle f}$ n'est définie que sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$. ${\displaystyle f(x)=x^{-1/2}-2+x^{1/2}+2x-2x^{3/2}+x^{5/2}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{1/2}}{1/2}}-2x+{\frac {x^{3/2}}{3/2}}+x^{2}-2{\frac {x^{5/2}}{5/2}}+{\frac {x^{7/2}}{7/2}}=2{\sqrt {x}}-2x+{\frac {2x{\sqrt {x}}}{3}}+x^{2}-{\frac {4x^{2}{\sqrt {x}}}{5}}+{\frac {2x^{3}{\sqrt {x}}}{7}}}$.

${\displaystyle f}$ n'est définie que sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$. ${\displaystyle f(x)=6x^{5-5/2}+21x^{1-5/2}-12x^{1/2-5/2}=6x^{5/2}+21x^{-3/2}-12x^{-2}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ est

${\displaystyle F(x)=6{\frac {x^{7/2}}{7/2}}+21{\frac {x^{-1/2}}{-1/2}}-12{\frac {x^{-1}}{-1}}={\frac {12x^{3}{\sqrt {x}}}{7}}-{\frac {42}{\sqrt {x}}}+{\frac {12}{x}}}$.

Sur chacun des deux intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,1\right[}$ et ${\displaystyle \left]1,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {(x^{2}-1)^{2}+1}{(x-1)^{2}}}=(x+1)^{2}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {(x+1)^{3}}{3}}-{\frac {1}{x-1}}}$.

Sur chacun des trois intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,-1\right[}$, ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ et ${\displaystyle \left]1,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{(x^{2}-1)^{2}}}+{\frac {x}{(x^{2}+1)^{2}}}}$ donc

${\displaystyle f={\frac {u'}{2u^{2}}}+{\frac {v'}{2v^{2}}}}$ avec ${\displaystyle u(x)=x^{2}-1}$ et ${\displaystyle v(x)=x^{2}+1}$, et une primitive de ${\displaystyle f}$ est

${\displaystyle F=-{\frac {1}{2u}}-{\frac {1}{2v}}}$.

${\displaystyle f=5+10{\frac {u'}{u^{2}}}}$ avec ${\displaystyle u(x)=x^{2}+4}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F(x)=5x-{\frac {10}{x^{2}+4}}}$.

Sur chacun des trois intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,-3\right[}$, ${\displaystyle \left]-3,3\right[}$ et ${\displaystyle \left]3,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {1/6}{x-3}}-{\frac {1/6}{x+3}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{6}}\ln \left|{\frac {x-3}{x+3}}\right|}$.

${\displaystyle f={\frac {3u'}{2u}}}$ avec ${\displaystyle u(x)=x^{2}+1>0}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F={\frac {3}{2}}\ln u}$.

Sur chacun des trois intervalles ${\displaystyle \left]-\infty ,-1\right[}$, ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ et ${\displaystyle \left]1,+\infty \right[}$, ${\displaystyle f(x)=1+{\frac {1}{2(x-1)}}-{\frac {1}{2(x+1)}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle F:x\mapsto x+{\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|}$.

Remarque : sur ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$, ${\displaystyle f(x)=1-\operatorname {artanh} 'x}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|=-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}=-\operatorname {artanh} x}$, cf. Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques#Argument tangente hyperbolique.)