cosh établit une bijection de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ sur ${\displaystyle [1,+\infty [}$.

On définit la fonction argument cosinus hyperbolique, notée arcosh la réciproque de ${\displaystyle \cosh |_{\mathbb {R} ^{+}}}$.

${\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$.

sinh est une bijection de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

On définit la fonction argument sinus hyperbolique, notée arsinh la réciproque de ${\displaystyle \sinh }$.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$.

tanh établit une bijection de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur ]–1, 1[.

On définit la fonction argument tangente hyperbolique, notée artanh la réciproque de ${\displaystyle \tanh }$.

${\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$.

• arcosh est dérivable sur ${\displaystyle ]1,+\infty [}$ et ${\displaystyle \forall x\in \left]1,+\infty \right[\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
• arsinh est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
• artanh est dérivable sur ]–1, 1[ et ${\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {artanh} 'x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

• ${\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \cosh(\operatorname {arcosh} x)=x}$
• ${\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arcosh} (\cosh x)=|x|}$
• ${\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\quad \tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]1,+\infty \right[\quad \operatorname {coth} (\operatorname {arcosh} x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {x^{2}+1}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} (\sinh x)=x}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad \operatorname {coth} (\operatorname {arsinh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \tanh(\operatorname {artanh} x)=x}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {coth} (\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{x}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \cosh(\operatorname {arcoth} x)={\frac {|x|}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \sinh(\operatorname {arcoth} x)={\frac {|x|}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \tanh(\operatorname {arcoth} x)={\frac {1}{x}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[\quad \operatorname {coth} (\operatorname {arcoth} x)=x}$