Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité

Exercice 1-1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ ( $a<b$ ). Quel est le signe de

$\int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$

où $\lambda$ désigne un nombre réel ?

En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :

$\left[\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\right]^{2}\leqslant \int _{a}^{b}[f(t)]^{2}\,\mathrm {d} t\int _{a}^{b}[g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$ .

Aide : On pourra développer $\int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$ , et la considérer comme un polynôme en $\lambda$ , de degré inférieur ou égal à 2.

Solution

Pour tout réel $\lambda$ ,

0\leq \int _{a}^{b}[f(t)+\lambda g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t=A\lambda ^{2}+2B\lambda +C

avec $A=\int _{a}^{b}[f(t)]^{2}\,\mathrm {d} t\geq 0$ , $B=\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t$ et $C=\int _{a}^{b}[g(t)]^{2}\,\mathrm {d} t$ , et l'on veut en déduire que $B^{2}\leq AC$ .

Si $A>0$ , en appliquant l'inégalité précédente à $\lambda =-B/A$ , on trouve : $0\leq C-B^{2}/A$ , qui équivaut à l'inégalité souhaitée.

Si $A=0$ alors $f$ est la fonction nulle donc $B^{2}=0=AC$ .

Exercice 1-2

Démontrer que, si $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle $[a,b]$ ( $a<b$ ) telles que, pour tout $x$ de $[a,b]$ , $f(x)g(x)\geq 1$ , alors :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\geq (a-b)^{2}$ .

Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.

Solution

Posons $F(x)={\sqrt {f(x)}}$ et $G(x)={\sqrt {g(x)}}$ . Alors :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}[F(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}[G(x)]^{2}\,\mathrm {d} x$ ;
d'après l'inégalité de Schwarz, $\int _{a}^{b}[F(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\int _{a}^{b}[G(x)]^{2}\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{a}^{b}F(x)G(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}$ ;
$F(x)G(x)={\sqrt {f(x)g(x)}}\geq 1$ donc $\int _{a}^{b}F(x)G(x)\,\mathrm {d} x\geq \int _{a}^{b}1\,\mathrm {d} x=b-a$ .

L'inégalité annoncée se déduit de ces trois points.

Exercice 1-3

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ( $a<b$ ), avec $g$ non constamment nulle. Démontrer que si $g$ garde un signe constant sur $[a,b]$ et si $m\leq f\leq M$ , on a :

$m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t}}\leq M$ .

Solution

Supposons par exemple $g\geq 0$ (si $g\leq 0$ , on aura la même conclusion en remplaçant $g$ par $-g$ ).

Alors, $mg\leq fg\leq Mg$ donc $m\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t\leq \int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\leq M\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ . La conclusion s'ensuit en divisant les trois membres de cet encadrement par $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ , qui est $>0$ .

Exercice 1-4

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction continue et soit $M=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$ . On suppose que $a<b$ et que $M>0$ . Pour tout entier $n>0$ , on pose $\|f\|_{n}={\sqrt[{n}]{\int _{a}^{b}|f(t)|^{n}\,\mathrm {d} t}}$ .

1° Prouver que $\|f\|_{n}\leq M{\sqrt[{n}]{b-a}}$ .

2° Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif $\varepsilon$ , il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes) $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$ , sur lequel $|f|>M-\varepsilon$ .

En déduire que

\|f\|_{n}>(M-\varepsilon ){\sqrt[{n}]{\beta -\alpha }}

.

3° Démontrer que $\lim _{n\to \infty }\|f\|_{n}=M$ .

Solution

1° En intégrant $|f|^{n}\leq M^{n}$ de $a$ à $b$ , on trouve $\|f\|_{n}^{n}\leq M^{n}(b-a)$ . On conclut en prenant les racines $n$ -ièmes.

2° Par définition de $M$ , il existe $x\in [a,b]$ tel que $|f(x)|>M-\varepsilon$ . Par continuité de $f$ en ce point, il existe dans $[a,b]$ un intervalle non trivial $[\alpha ,\beta ]$ (contenant $x$ ) sur lequel $|f|>M-\varepsilon$ .

En intégrant

|f|^{n}>(M-\varepsilon )^{n}

de

\alpha

à

\beta

, on trouve

\|f\|_{n}^{n}>(M-\varepsilon )^{n}(\beta -\alpha )

. On conclut en prenant les racines

n

-ièmes.

3° Soit $\varepsilon >0$ .

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{b-a}}=1$ donc d'après la question 1, pour tout $n$ suffisamment grand, $\|f\|_{n}\leq M+\varepsilon$ .
De même, d'après la question 2, pour tout $n$ suffisamment grand, $\|f\|_{n}>M-2\varepsilon$ .

D'après ces deux points,

\lim _{n\to \infty }\|f\|_{n}=M

.

Remarque: Un exercice de niveau 16 montre que la suite $\left({\frac {\|f\|_{n}}{\sqrt[{n}]{b-a}}}\right)$ (qui, d'après ce qui précède, converge vers $M$ ) est croissante.

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