Cette série d'exercices propose essentiellement deux démonstrations du théorème suivant :

Théorème de Darboux

Soit ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ une fonction dérivable.

Alors sa dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires :

pour tout réel ${\displaystyle \lambda }$ compris entre ${\displaystyle f'(a)}$ et ${\displaystyle f'(b)}$, il existe ${\displaystyle c\in \left[a,b\right]}$ tel que ${\displaystyle \lambda =f'(c)}$.

La première est due à Darboux, dans son mémoire de 1875 et la seconde à Lebesgue, dans son mémoire de 1904. L'argument principal de la seconde (dont on verra des variantes) permettra en outre de formuler « une réciproque » du théorème des accroissements finis.

Remarque

Il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue. D'après le théorème de Darboux, leurs dérivées sont des fonctions non continues qui vérifient pourtant la propriété des valeurs intermédiaires. Darboux donne l'exemple ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(1/x)}$ (prolongée par ${\displaystyle f(0)=0}$), dont la dérivée n'est pas continue en ${\displaystyle 0}$, et à l'aide de laquelle il construit même des fonctions dérivables dont la dérivée n'est continue en aucun rationnel.

Notations

On suppose ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ dérivable et, sans perte de généralité, ${\displaystyle f'(a)<\lambda <f'(b)}$. Il s'agit de montrer que ${\displaystyle \lambda }$ est un nombre dérivé de ${\displaystyle f}$.

On note ${\displaystyle T:=\{(x,y)\in \left[a,b\right]^{2}\mid x<y\}}$ et ${\displaystyle H:T\to \mathbb {R} ,\ (x,y)\mapsto {\frac {f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}}}$. L'ensemble des taux de variation de ${\displaystyle f}$ est donc ${\displaystyle H(T)}$.

Les démonstrations feront aussi intervenir la fonction auxiliaire (dérivable) ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto f(x)-\lambda x}$.

Démonstration de Darboux

1. Démontrer qu'il existe ${\displaystyle u,v\in \left]a,b\right[}$ tels que ${\displaystyle H(a,u)<\lambda <H(v,b)}$.
2. Montrer que pour de tels ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ on a ${\displaystyle g(u)<g(a)}$ et ${\displaystyle g(v)<g(b)}$.
3. En déduire que ${\displaystyle g}$ a un minimum en un point ${\displaystyle c\in \left]a,b\right[}$.
4. Conclure.

Démonstration de Lebesgue

1. Démontrer que ${\displaystyle \lambda \in H(T)}$, de trois façons :
   1. (Adaptation de la démonstration de Lebesgue.) En montrant d'abord que ${\displaystyle H(T)}$ est un intervalle, puis en utilisant la question 1 de la démonstration de Darboux.
   2. (Démonstration de Lars Olsen (2004).) En considérant
      ${\displaystyle (x_{t},y_{t}):={\begin{cases}\left(a,\left(1+t\right)b-ta\right)&{\text{si}}\quad -1<t\leq 0\\\left(tb+\left(1-t\right)a,b\right)&{\text{si}}\quad 0<t<1.\end{cases}}}$
   3. En remarquant d'abord que ${\displaystyle g}$ n'est pas monotone, d'après la question 2 de la démonstration de Darboux.
2. Conclure.

Une réciproque du théorème des accroissements finis

Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, n^o 1, 2011, p. 89-91, lui-même inspiré de Jingcheng Tong et Peter A. Braza, « A converse of the mean value theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 104, n^o 10, 1997, p. 939-942.

Théorème

Soient ${\displaystyle h:I\to \mathbb {R} }$ une fonction dérivable sur un intervalle ${\displaystyle I}$, et ${\displaystyle \lambda }$ une valeur non extrémale de ${\displaystyle h'}$, alors :

1. il existe deux réels ${\displaystyle x,y\in I}$ tels que ${\displaystyle x<y}$ et ${\displaystyle \lambda ={\frac {h\left(y\right)-h\left(x\right)}{y-x}}}$ ;
2. si la valeur ${\displaystyle \lambda }$ (non extrémale) n'est atteinte par ${\displaystyle h'}$ qu'en un point ${\displaystyle c}$, alors ${\displaystyle x<c<y}$.

1. Trouver une fonction ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dérivable et injective telle que ${\displaystyle h'\geq 0=h'\left(0\right)}$, et en déduire que la condition « non extrémale » est indispensable.
2. Déduire le point 1 du théorème du point 1 de la démonstration de Lebesgue.
3. Démontrer le point 2.
4. En déduire que si ${\displaystyle \lambda =h'\left(c\right)}$ n'est pas un extremum local et si, au voisinage du point ${\displaystyle c}$, cette valeur n'est atteinte qu'en ${\displaystyle c}$, il existe encore ${\displaystyle x,y}$ vérifiant les propriétés 1 et 2.

Remarque

Tong et Braza ont baptisé le point 1 du théorème « forme faible » (d'une réciproque du TAF) et ont appelé « forme forte » le résultat de la question 4. Ils supposaient inutilement que les bornes de ${\displaystyle I}$ sont finies et distinctes de ${\displaystyle c}$ et que ${\displaystyle h}$ admet une limite finie en ces deux points (probablement pour que la formulation de leur théorème ressemble plus à une réciproque du TAF). Mortici a fait de même.