${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$ est convexe et ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}=1}$

Donc ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}f(x_{i})}$

c'est-à-dire ${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$,

d'où le résultat.

Remarque

C'est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

La fonction ${\displaystyle \ln }$ étant concave (car ${\displaystyle \ln ''<0}$), on a :

${\displaystyle (1)\quad \forall x,y>0\quad \ln {\left({\frac {x+y}{2}}\right)}\geq {\frac {\ln x+\ln y}{2}}=\ln {\sqrt {xy}}}$,

dont on déduit l'inégalité arithmético-géométrique :

${\displaystyle (2)\quad \forall x,y>0\quad {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}$.

En appliquant ${\displaystyle (1)}$ à ${\displaystyle x=a,y=b}$ et ${\displaystyle (2)}$ à ${\displaystyle x=\ln a,y=\ln b}$, on conclut :

${\displaystyle \ln {\left({\frac {a+b}{2}}\right)}\geq {\frac {\ln a+\ln b}{2}}\geq {\sqrt {\ln a\ln b}}}$.

Voir propriété 8 de Fonctions convexes/Définition et premières propriétés.

Il suffit de montrer que ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} _{+}\quad f(x+y)\leq f(x)+f(y)-f(0)}$, et l'on peut supposer ${\displaystyle 0<x\leq y}$. D'après la troisième et la première inégalité des pentes (inversées, puisque ${\displaystyle f}$ est concave), on a alors :

${\displaystyle {\frac {f(x+y)-f(y)}{x}}\leq {\frac {f(y)-f(0)}{y}}\leq {\frac {f(x)-f(0)}{x}}}$ donc ${\displaystyle f(x+y)-f(y)\leq f(x)-f(0)}$.

1. Si ${\displaystyle f'}$ est strictement monotone alors elle est injective.
2. 1. La fonction ${\displaystyle F}$ est continue sur le connexe ${\displaystyle T}$ (qui est même connexe par arcs car convexe), et elle ne s'annule en aucun ${\displaystyle \left(x,y,z\right)\in T}$, sinon « le » ${\displaystyle c\in \left]x,z\right[}$ ne serait pas unique (il y en aurait au moins un dans ${\displaystyle \left]x,y\right[}$ et un dans ${\displaystyle \left]y,z\right[}$). Elle est donc de signe (strict) constant.
   2. ${\displaystyle f}$ est strictement convexe si ${\displaystyle F>0}$ et strictement concave si ${\displaystyle F<0}$.

Si ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ est convexe et dérivable alors ${\displaystyle f'}$ est croissante. D'après le théorème de la limite monotone, on a donc, pour tout point ${\displaystyle x}$ intérieur à ${\displaystyle I}$ :

${\displaystyle \sup _{x>y\in I}f'\left(y\right)=\lim _{x^{-}}f'\leq f'\left(x\right)\leq \lim _{x^{-}}f'=\inf _{x<y\in I}f'\left(y\right)}$.

De plus, ${\displaystyle f'}$ vérifie, comme toute fonction dérivée, la propriété des valeurs intermédiaires, donc tous les termes ci-dessus sont égaux, c'est-à-dire que ${\displaystyle f'}$ est continue au point ${\displaystyle x}$. De même, ${\displaystyle f'}$ est continue en les éventuels plus petit et plus grand éléments de ${\displaystyle I}$.

1. Si ${\displaystyle f}$ est convexe et si ${\displaystyle a<b}$ dans ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle c\in \left]a,b\right[}$, alors ${\displaystyle c=ta+\left(1-t\right)b}$ pour ${\displaystyle t:={\frac {b-c}{b-a}}\in \left]0,1\right[}$, et ${\displaystyle f\left(c\right)\leq tf\left(a\right)+\left(1-t\right)f\left(b\right)\leq \max \left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)}$.
2. Soient ${\displaystyle a<c<b}$ dans ${\displaystyle I}$. Si ${\displaystyle c\in I_{1}}$ alors ${\displaystyle a\in I_{1}}$ et ${\displaystyle f\left(c\right)\leq f\left(a\right)}$. Si ${\displaystyle c\in I_{2}}$ alors ${\displaystyle b\in I_{2}}$ et ${\displaystyle f\left(c\right)\leq f\left(b\right)}$.
3. 1. Par définition, pour tout ${\displaystyle x\in I_{2}}$ et tout ${\displaystyle y>x}$ dans ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle f\left(y\right)\geq f\left(x\right)}$.
   2. Soit ${\displaystyle x\in I_{1}}$. Il existe donc ${\displaystyle y>x}$ dans ${\displaystyle I}$ tel que ${\displaystyle f\left(y\right)<f\left(x\right)}$. Pour tout ${\displaystyle z\in I}$ tel que ${\displaystyle z<x}$, on a alors ${\displaystyle z<x<y}$ donc ${\displaystyle f\left(x\right)\leq \max \left(f\left(z\right),f\left(y\right)\right)}$, si bien que ${\displaystyle f\left(z\right)\geq f\left(x\right)>f\left(y\right)}$.
   3. D'après la question précédente, ${\displaystyle f}$ est décroissante sur ${\displaystyle I_{1}}$, ${\displaystyle I_{1}}$ est un intervalle et ${\displaystyle I_{1}<I_{2}}$ (donc ${\displaystyle I_{2}}$ est aussi un intervalle).
4. N'importe quelle fonction monotone et non convexe, comme la fonction racine carrée sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ (qui est même strictement concave) ou la fonction partie entière sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (qui est même discontinue).
5. Soient ${\displaystyle z<x}$ dans ${\displaystyle I_{1}}$. En affinant le raisonnement de la question 3.2, on a à présent (avec les mêmes notations) : ${\displaystyle x=tz+\left(1-t\right)y}$ avec ${\displaystyle t\in \left]0,1\right[}$, et ${\displaystyle f\left(x\right)\leq tf\left(y\right)+\left(1-t\right)f\left(z\right)<f\left(z\right)}$. Donc ${\displaystyle f}$ est strictement décroissante sur ${\displaystyle I_{1}}$.
   En appliquant ce résultat à la fonction convexe ${\displaystyle -I_{2}\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto f\left(-t\right)}$, il existe donc dans ${\displaystyle I_{2}}$ deux intervalles complémentaires ${\displaystyle I_{21}<I_{22}}$ tels que ${\displaystyle f}$ soit décroissante sur ${\displaystyle I_{21}}$ et strictement croissante sur ${\displaystyle I_{22}}$. Sur ${\displaystyle I_{21}}$, ${\displaystyle f}$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante.