Supposons par exemple f(a) ≤ u ≤ f(b), et notons X le sous-ensemble de l'intervalle [a, b] constitué des réels x qui vérifient f(x) ≤ u.

Cet ensemble est non vide (il contient a) et majoré (par b).

Notons c sa borne supérieure et prouvons que f(c) = u.

• Comme ${\displaystyle \lim _{x\to c,\,x\in X}f(x)=f(c)}$, on a (par passage à la limite dans les inégalités) f(c) ≤ u.
• Reste à prouver que f(c) ≥ u.
  • Si c = b, c'est vrai par hypothèse.
  • Si au contraire l'intervalle ]c, b] est non vide, comme ses éléments x vérifient tous f(x) > u, on obtient (à nouveau par passage à la limite) f(c) ≥ u.
• Cette inégalité et la précédente prouvent l'égalité voulue.

Pour une autre preuve (par dichotomie), voir Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires.

Notons ${\displaystyle M}$ la borne supérieure de l'ensemble ${\displaystyle f([a,b])}$, au sens large a priori, c'est-à-dire égale à ${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle f}$ n'est pas majorée, et prouvons qu'elle est atteinte (donc en fait finie).

Pour tout réel ${\displaystyle N<M}$, posons

${\displaystyle D_{N}=f^{-1}([N,+\infty [)}$ (inclus dans ${\displaystyle [a,b]}$ et non vide) et ${\displaystyle d_{N}=\sup(D_{N})}$.

Comme ${\displaystyle \lim _{x\to d_{N},\,x\in D_{N}}f(x)=f(d_{N})}$, on a (par passage à la limite dans les inégalités)

• ${\displaystyle f(d_{N})\geq N}$.

Par ailleurs, comme la fonction ${\displaystyle N\mapsto d_{N}}$ est décroissante, quand ${\displaystyle N\to M^{-}}$, ${\displaystyle d_{N}\to d:=\inf _{N<M}d_{N}\in [a,b]}$ (théorème de la limite monotone) et par continuité :

• ${\displaystyle f(d_{N})\to f(d)}$.

À nouveau par passage à la limite, on déduit de ces deux points que ${\displaystyle f(d)\geq M}$, donc :

${\displaystyle f(d)=M}$.

Le résultat pour la borne inférieure s'en déduit en remplaçant ${\displaystyle f}$ par ${\displaystyle -f}$, ou se démontre de même.

Il existe bien d'autres démonstrations du théorème des bornes. Voir par exemple Spivak, Calculus, p. 115-116.

Preuve du lemme

Soient ${\displaystyle X}$ une partie de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle I}$ un intervalle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g:X\to I}$ une surjection croissante (si ${\displaystyle g}$ est décroissante, considérer ${\displaystyle -g}$) et non constante (car ce cas est immédiat), ${\displaystyle x\in X}$ et ${\displaystyle y=g(x)}$.

• S'il existe ${\displaystyle r>0}$ tel que ${\displaystyle [y-r,y+r]\subset I}$ alors, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, en posant ${\displaystyle \delta =\min(\varepsilon ,r)}$ puis ${\displaystyle x_{-}=g^{-1}(y-\delta )}$ et ${\displaystyle x_{+}=g^{-1}(y+\delta )}$, on obtient : ${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$ et ${\displaystyle g([x_{-},x_{+}]\cap X)\subset [y-\varepsilon ,y+\varepsilon ]}$.
• Si ${\displaystyle y=\sup I}$, on trouve de même, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, un ${\displaystyle x_{-}<x}$ tel que ${\displaystyle g([x_{-},+\infty [\cap X)\subset [y-\varepsilon ,y]}$.
• Si ${\displaystyle y=\inf I}$, on trouve de même, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, un ${\displaystyle x_{+}>x}$ tel que ${\displaystyle g(]-\infty ,x_{+}]\cap X)\subset [y,y+\varepsilon ]}$.

Dans les trois cas, on a démontré que ${\displaystyle g}$ est continue en ${\displaystyle x}$.

Preuve du théorème

On suppose que ${\displaystyle f}$ est strictement croissante (si ${\displaystyle f}$ est décroissante, considérer ${\displaystyle -f}$).

• ${\displaystyle f}$ est strictement croissante donc injective. C'est donc une bijection de ${\displaystyle [a,b]}$ dans ${\displaystyle f([a,b])}$.
• D'après le théorème des valeurs intermédiaires, ${\displaystyle f([a,b])}$ est un intervalle.
• Par monotonie, ${\displaystyle f([a,b])=J}$.
• La bijection réciproque, de ${\displaystyle J}$ sur ${\displaystyle [a,b]}$, est (strictement) croissante, donc continue d'après le lemme.