${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus F}$ est homéomorphe à ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n-p}\right)^{*}\times \mathbb {R} ^{p}}$ donc (d'après la proposition du cours sur les composantes connexes d'un produit) il a autant de composantes connexes que ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n-p}\right)^{*}}$ : une si ${\displaystyle p<n-1}$ et deux si ${\displaystyle p=n-1}$.

1. Soit ${\displaystyle x\in U}$. Il existe un intervalle ouvert contenant ${\displaystyle x}$ et inclus dans ${\displaystyle U}$. Sur cet intervalle, ${\displaystyle f'}$ est nulle donc ${\displaystyle f}$ est constante.
2. Sans perte de généralité, on peut supposer que ${\displaystyle X}$ est connexe et non vide. Les ${\displaystyle f^{-1}\left(\{y\}\right)}$ pour ${\displaystyle y\in Y}$ sont des ouverts disjoints donc un seul est non vide.

1. Soient ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ fermés dans ${\displaystyle E}$ tels que ${\displaystyle A\cap B}$ soit connexe. Supposons par exemple ${\displaystyle A}$ non connexe et montrons qu'alors, ${\displaystyle A\cup B}$ n'est pas connexe. Par hypothèse, ${\displaystyle A}$ est l'union de deux fermés disjoints non vides ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$. Puisque ${\displaystyle A\cap B}$ est connexe et union des deux fermés disjoints ${\displaystyle F\cap B}$ et ${\displaystyle G\cap B}$, l'un des deux est vide ; par exemple, ${\displaystyle G\cap B=\varnothing }$. Alors, ${\displaystyle A\cup B}$ est l'union des deux fermés disjoints non vides ${\displaystyle F\cup B}$ et ${\displaystyle G}$.
2. ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{*}}$, ${\displaystyle B=\{0\}}$.
3. Soient ${\displaystyle f:A\cup B\to \{0,1\}}$ continue et ${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup B}$. Alors, ${\displaystyle f}$ est constante sur ${\displaystyle A}$ donc sur son adhérence dans ${\displaystyle A\cup B}$, qui est égale à ${\displaystyle {\overline {A}}\cap \left(A\cup B\right)=A\cup \left({\overline {A}}\cup B\right)}$. Par conséquent, elle vaut ${\displaystyle f(x)}$ en tout point de ${\displaystyle A}$. Elle est aussi constante sur ${\displaystyle B}$ donc elle vaut ${\displaystyle f(x)}$ en tout point de ${\displaystyle B}$. Elle est donc constante sur ${\displaystyle A\cup B}$.

https://math.stackexchange.com/questions/2034765/in-a-connected-space-two-closed-sets-must-be-connected-by-a-single-branch

1. L'ensemble ${\displaystyle T}$ est une partie connexe — car convexe — de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (c'est un triangle si l'intervalle ${\displaystyle I}$ est borné) et ${\displaystyle g}$ est continue donc ${\displaystyle g(T)}$ est une partie connexe de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, c'est-à-dire un intervalle.
2. Cet intervalle ne contient pas ${\displaystyle 0}$ (c'est ici qu'intervient l'injectivité de ${\displaystyle f}$) donc ${\displaystyle g}$ est de signe constant, c'est-à-dire que ${\displaystyle f}$ est monotone.

1. g₁(x) = x et g₂(x) = |x|.
2. Par hypothèse, ${\displaystyle G=\Omega \cap Z}$ pour un certain ouvert Ὼ de V×F. Soient C un connexe de V et ${\displaystyle h:C\to F}$ une application continue dont le graphe est inclus dans Z et contient ${\displaystyle (a,b)}$. Alors, le sous-ensemble D de C sur lequel ${\displaystyle h}$ coïncide avec ${\displaystyle g}$ est fermé dans C (par séparation de F et continuité de ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle g}$) et non vide (il contient ${\displaystyle a}$). De plus, D est ouvert dans C, comme image réciproque de l'ouvert Ὼ par l'application continue ${\displaystyle c\mapsto \left(c,h(c)\right)}$.
   Par connexité de C, le sous-ensemble D est donc égal à C tout entier, c'est-à-dire que ${\displaystyle h}$ n'est autre que la restriction de ${\displaystyle g}$ à C.

${\displaystyle G}$ est connexe (par arcs) donc son adhérence ${\displaystyle {\overline {G}}}$ est connexe. Elle est la réunion de deux connexes par arcs : ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H:=\{0\}\times \left[-1,1\right]}$.

Pour montrer que ces deux parties de ${\displaystyle {\overline {G}}}$ ne sont pas connectées par un arc, remarquons d'abord que pour tout intervalle non vide ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} _{+}^{*}}$ d'extrémité ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle f(I)=\left[-1,1\right]}$.

Soit maintenant un chemin continu ${\displaystyle z=(x,y):\left[0,1\right]\to {\overline {G}}}$. Pour tout ${\displaystyle t\in z^{-1}(H)}$, soit ${\displaystyle V}$ un voisinage de ${\displaystyle y(t)}$ dans ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ non égal à ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ tout entier puis, soit ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que pour tout ${\displaystyle s\in U:=\left[0,1\right]\cap \left]t-\varepsilon ,t+\varepsilon \right[}$, ${\displaystyle y(s)\in V}$. Alors, d'après la remarque préliminaire, l'intervalle ${\displaystyle x(U)\setminus \{0\}}$ est vide, c'est-à-dire que ${\displaystyle U\subset z^{-1}(H)}$. On a donc montré que pour tout ${\displaystyle t\in z^{-1}(H)}$, ${\displaystyle z^{-1}(H)}$ est un voisinage de ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle \left[0,1\right]}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle z^{-1}(H)}$ est un ouvert de ${\displaystyle \left[0,1\right]}$. Puisqu'il est également fermé (car ${\displaystyle H}$ est fermé), il est soit vide, soit égal à ${\displaystyle \left[0,1\right]}$. Cela prouve qu'aucun chemin continu dans ${\displaystyle {\overline {G}}}$ ne rencontre à la fois ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle G}$.

Toute matrice de SO(3) est de la forme ${\displaystyle PR_{\theta }P^{-1}}$ avec ${\displaystyle P}$ orthogonale et ${\displaystyle R_{\theta }:={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$, donc est reliée à la matrice identité par le chemin ${\displaystyle t\mapsto PR_{t\theta }P^{-1}}$.

1. Cela vient uniquement du fait que dans ${\displaystyle \Omega }$, tout point a un voisinage connexe par arcs polygonaux (et même un voisinage convexe : une boule), et la preuve est donc calquée (en plus simple) sur celle vue en cours à propos de la connexité par arcs. Soient ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ et ${\displaystyle A}$ l'ensemble des points de ${\displaystyle \Omega }$ joints à ${\displaystyle x_{0}}$ par un arc polygonal. Toute boule ${\displaystyle B\subset \Omega }$ qui rencontre ${\displaystyle A}$ est incluse dans ${\displaystyle A}$ (en mettant bout à bout un segment d'un point de ${\displaystyle B}$ à un point ${\displaystyle x\in B\cap A}$ et un arc polygonal de ${\displaystyle x}$ à ${\displaystyle x_{0}}$). Ainsi, l'ensemble (non vide) ${\displaystyle A}$ est à la fois :
   • ouvert : si ${\displaystyle x\in A}$ et si ${\displaystyle B\subset \Omega }$ est une boule ouverte contenant ${\displaystyle x}$ alors ${\displaystyle B\subset A}$, donc ${\displaystyle A}$ est voisinage de tous ses points ;
   • fermé : si ${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$ et si ${\displaystyle B\subset \Omega }$ est une boule ouverte contenant ${\displaystyle x}$ alors ${\displaystyle B}$ rencontre ${\displaystyle A}$ donc ${\displaystyle B\subset A}$ donc ${\displaystyle x\in A}$, donc ${\displaystyle A}$ contient tous ses points adhérents.

   Par conséquent, ${\displaystyle A=\Omega }$.

2. Même raisonnement en remplaçant la notion de connexité par arcs polygonaux par celle de connexité par arcs dont seules éventuellement les extrémités appartiennent à ${\displaystyle D}$, et en remarquant que lorsqu'un tel arc rencontre un ouvert ${\displaystyle B}$, il contient des points ${\displaystyle x\in B\setminus D}$.

1. On peut prendre par exemple pour ${\displaystyle \gamma _{s}}$ la réunion des deux segments ${\displaystyle \left[x,z_{s}\right]}$ et ${\displaystyle \left[z_{s},y\right]}$, où ${\displaystyle z_{s}}$ est un point parcourant la médiatrice de ${\displaystyle \left[x,y\right]}$.
2. Soient ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ deux points de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus D}$ distincts, et ${\displaystyle \left(\gamma _{s}\right)_{s\in \mathbb {R} }}$ comme dans la question précédente. Alors, l'un au moins des ${\displaystyle \gamma _{s}\left(\left]0,1\right[\right)}$ ne rencontre pas ${\displaystyle D}$.
3. Même raisonnement que dans les questions précédentes, en prenant par exemple pour ${\displaystyle \gamma _{s}}$ l'arc de parabole passant par ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$, de sommet ${\displaystyle z_{s}}$ et d'axe la médiatrice de ${\displaystyle \left[x,y\right]}$.