Une fonction ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ est dite analytique en un point ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ si elle admet un développement en série entière autour de ce point : ${\displaystyle f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}(z-z_{0})^{m}}$.

Une fonction ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ est dite analytique sur son domaine ${\displaystyle \Omega }$, si elle est analytique en tous les points de son domaine.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction holomorphe sur un ouvert ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$. Alors, sur tout disque ${\displaystyle D(z_{0},R)\subset \Omega }$, on a

${\displaystyle f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}(z-z_{0})^{m}}$.

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$, alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle f}$ est la fonction nulle ;
• il existe un point ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$ en lequel ${\displaystyle f}$ et toutes ses dérivées sont nulles ;
• l'ensemble des zéros de ${\displaystyle f}$ admet un point d'accumulation ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$.