Fonction dérivée/Exercices/Formule de Taylor

On considère la fonction ƒ définie par pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)={\frac {(1-x^{2})^{2}}{1+x^{2}}}$ . L'objectif de la partie I est d'établir quelques propriétés de ƒ. L'objectif de la partie II est l'étude du comportement de ƒ au voisinage de l'abscisse x₀ = 1 et son approximation par des fonctions plus simples au voisinage de ce point.

Partie I

1. Étudier la parité de la fonction ƒ. Quelle propriété graphique peut-on en déduire pour sa courbe C_ƒ ?

2. Calculer la dérivée ƒ' . Factoriser ƒ'(x) puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de ƒ.

3. Tracer soigneusement C_ƒ.

4. Résoudre algébriquement l’équation

f(x)={\frac {1}{2}}

.

Solution

1. Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(-x)=f(x)$ donc ƒ est paire. Cela implique que la courbe C_ƒ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Il suffit donc d'étudier ƒ sur [0;+∞[ puis de compléter la courbe obtenue par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)={\frac {1-2x^{2}+x^{4}}{1+x^{2}}}$ , donc ƒ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas.

ƒ est donc dérivable sur

\mathbb {R}

.

f={\frac {u}{v}}

avec, pour tout

x\in \mathbb {R} ,~{\begin{cases}u(x)=1-2x^{2}+x^{4}\\v(x)=1+x^{2}\end{cases}}

Donc, pour tout

x\in \mathbb {R} ,~{\begin{cases}u'(x)=-4x+4x^{3}\\v'(x)=2x\end{cases}}

{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {vu'-uv'}{v^{2}}}\\&={\frac {(1+x^{2})(-4x+4x^{3})-(1-2x+x^{4})(2x)}{v^{2}(x)}}\\&={\frac {(x^{2}+1)\cdot (4x)\cdot (x^{2}-1)-2x(x^{2}-1)^{2}}{v^{2}(x)}}\\&={\frac {2x(x^{2}-1){\big [}2(x^{2}+1)-(x^{2}-1){\big ]}}{v^{2}(x)}}\\&={\frac {2x(x^{2}-1)(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)$ est du signe de 2x(x²-1) puisque (x²+3) et (x²+1)² sont positifs.

Tableau de signes

${\begin{array}{c|ccccccccc|}x&-\infty &&-1&&0&&1&&+\infty \\\hline {\rm {Signe~de~}}2x&&-&&-&0&+&&+&\\\hline {\rm {Signe~de~}}x^{2}-1&&+&0&-&&-&0&+&\\\hline {\rm {Signe~de~}}f'(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline &&&&&1&&&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&&&0&&&&0&&\\\end{array}}$

3. Voici la représentation graphique de cette fonction (cliquez pour agrandir) :

4. Soit $x\in \mathbb {R}$

{\begin{aligned}f(x)={\frac {1}{2}}&\Leftrightarrow {\frac {(1-x^{2})^{2}}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\\&\Leftrightarrow 2(1-x^{2})^{2}=1+x^{2}\\&\Leftrightarrow 2(1-2x^{2}+x^{4})=1+x^{2}\\&\Leftrightarrow 2x^{4}-5x^{2}+1=0\\\end{aligned}}

On aboutit à une équation dite bicarrée.

Pour plus de détails sur les équations bicarrées, voir la page qui leur est consacrée dans le cours sur les équations du second degré

Pour résoudre une telle équation, on pose $X=x^{2}$

L'équation $f(x)={\frac {1}{2}}$ devient alors $2X^{2}-5X+1=0$ . On résout alors cette équation du second degré en X :

Le discriminant vaut

\Delta =(-5)^{2}-4\times 2=17

, donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

X_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {5+{\sqrt {17}}}{4}}

et

X_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {5-{\sqrt {17}}}{4}}

Il faut maintenant remonter à x en résolvant les équations $x^{2}=X_{1}$ et $x^{2}=X_{2}$

Comme $X_{1}>0$ et $X_{2}>0$ , il y a finalement quatre solutions à l'équation $f(x)={\frac {1}{2}}$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$ :

${\mathcal {S}}=\left\{{\frac {\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}{2}};{\frac {\sqrt {5-{\sqrt {17}}}}{2}};-{\frac {\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}{2}};-{\frac {\sqrt {5-{\sqrt {17}}}}{2}}\right\}$

Partie II

On cherche à approximer la fonction ƒ par des fonctions « plus simples » au voisinage du point d'abscisse x₀ = 1^{Truc évasif} . Le mathématicien anglais Taylor (1685-1731) a mis en place une formule permettant une approximation polynomiale des fonctions (lorsque celles-ci sont suffisamment dérivables) au voisinage d'une abscisse x₀ : lorsque x est proche de x₀, on a :
$f(x)$ $\simeq$ ^{Truc évasif} $f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+f''(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}+\cdots +f^{(n)}(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}$
Dans cette formule, l'entier n s’appelle « l'ordre du développement de Taylor » et ƒ ⁽ⁿ⁾ désigne la dérivée n-ième de f, appelée encore dérivée d’ordre n de ƒ.

1. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 1 pour obtenir une approximation affine P₁ de ƒ en x₀ = 1.

2. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 2 pour obtenir une approximation polynomiale de degré 2 (que l’on notera P₂) de ƒ en x₀ = 1. (Vous devrez, au préalable, calculer la dérivée seconde ƒ'' de ƒ ).

3. Tracer les représentations graphiques de P₁ et P₂ sur le graphique de la partie I.

Remarque :

P₁ est représentée par la tangente à C_ƒ au point d'abscisse x₀ = 1.
P₂ est représentée par la « meilleure » parabole approchant C_f au voisinage de x₀ = 1. Si on n’est pas satisfait par la qualité de l'approximation, on peut toujours augmenter l’ordre du développement n.

Solution

1. On a vu que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {2x(x^{2}-1)(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}}$ , donc $f'(1)=0$

La formule de Taylor à l’ordre 1 appliquée à ƒ en x₀ = 1 donne, pour x au voisinage de 1 :

{\begin{aligned}f(x)&\simeq f(1)+f'(1)(x-1)\\&\simeq 0\\\end{aligned}}

Donc $P_{1}:x\mapsto 0$

2. Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\cdot {\frac {x^{5}+2x^{3}-3x}{(x^{2}+1)^{2}}}$

ƒ' est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f''(x)={\frac {(10x^{4}+12x^{2}-6)(x^{2}+1)^{2}-(2x^{5}+4x^{3}-6x)\cdot 2(2x)(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}}$

Il est inutile de développer le calcul plus loin puisque la seule chose qui nous intéresse est la valeur de cette dérivée seconde en 1.

f''(1)={\frac {(10+12-6)(1+1)^{2}-(2+4-6)\cdot 2(2)(1+1)}{(1+1)^{4}}}={\frac {16\cdot 4-0}{2^{4}}}=4

La formule de Taylor à l’ordre 2 appliquée à ƒ en x₀ = 1 donne, pour x au voisinage de 1 :

{\begin{aligned}f(x)&\simeq f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1){\frac {(x-1)^{2}}{2}}\\&\simeq 2(x-1)^{2}\\\end{aligned}}

Donc $P_{2}:x\mapsto 2(x-1)^{2}$

3. Représentation graphique

Application

On pose $f:x\mapsto \cos(x)$ , $g:x\mapsto \sin(x)$ et $h:x\mapsto \tan(x)$

1. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 2 pour obtenir une approximation polynomiale de degré 2 de la fonction ƒ au voisinage de 0 (c'est-à-dire en x₀ = 0 ).

2. Utiliser le formule de Taylor à l’ordre n = 3 pour obtenir une approximation polynomiale (de degré 3) des fonctions sinus et tangente au voisinage de 0.

Solution

1. La formule de Taylor à l’ordre 2 appliquée à ƒ en x₀ = 0 donne, pour x au voisinage de 0 :

{\begin{aligned}f(x)&\simeq f(0)+f'(0)x+{\frac {f''(0)}{2}}x^{2}\\&\simeq 1-{\frac {x^{2}}{2}}\\\end{aligned}}

2. La formule de Taylor à l’ordre 3 appliquée à g en 0 donne, pour x au voisinage de 0 :

{\begin{aligned}g(x)&\simeq g(0)+g'(0)x+{\frac {g''(0)}{2}}x^{2}+{\frac {g'''(0)}{6}}x^{3}\\&\simeq x-{\frac {x^{3}}{6}}\\\end{aligned}}

La formule de Taylor à l’ordre 3 appliquée à h en 0 donne, pour x au voisinage de 0 :

{\begin{aligned}h(x)&\simeq h(0)+h'(0)x+{\frac {h''(0)}{2}}x^{2}+{\frac {h'''(0)}{6}}x^{3}\\&\simeq x+{\frac {x^{3}}{3}}\\\end{aligned}}

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