Équations et fonctions du second degré/Exercices/Équations bicarrées

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Équation bicarrée

Soient $a\in \mathbb {R} ^{*}$ , $b\in \mathbb {R}$ et $c\in \mathbb {R}$

On appelle équation bicarrée toute équation du quatrième degré de la forme $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ d'inconnue x.

Résolution d'une équation bicarrée

On considère l'équation bicarrée $(E)~:~ax^{4}+bx^{2}+c=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$ .

(E) peut se ramener à l'étude d'une équation du second degré en posant simplement $X=x^{2}$

(E) devient $aX^{2}+bX+c=0$ .

On déroule alors la méthode habituelle : discriminant, calcul des racines éventuelles…

Toute cette résolution se fait en X. Il faut ensuite revenir en x en utilisant le fait que $x^{2}=X$ .

Voyons les différents cas qui se présentent sur différents exercices.

Équation bicarrée 1

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{1})~:~x^{4}-3x^{2}+2=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

On pose $X=x^{2}$ . L'équation devient $(E'_{1})~:~X^{2}-3X+2=0$
Le discriminant vaut $\Delta =1$
$\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes

$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=1$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=2$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$

On trouve ainsi quatre solutions :

$x_{11}=1~~(x_{11}^{2}=X_{1})$
$x_{12}=-1~~(x_{12}^{2}=X_{1})$
$x_{21}={\sqrt {2}}~~(x_{21}^{2}=X_{2})$
$x_{22}=-{\sqrt {2}}~~(x_{22}^{2}=X_{2})$

L'ensemble des solutions de (E₁) est alors ${\mathcal {S}}_{1}=\{1,-1,{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\}$ .

Équation bicarrée 2

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{2})~:~2x^{4}-8{\sqrt {3}}x^{2}+24=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

On pose $X=x^{2}$ . L'équation devient $(E'_{2})~:~2X^{2}-8{\sqrt {3}}X+24=0$
Le discriminant vaut $\Delta =0$ , donc l'équation en X admet une racine réelle « double »

$X_{0}=-{\frac {b}{2a}}=2{\sqrt {3}}$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{0}$

On trouve ainsi deux solutions :

$x_{1}={\sqrt {2{\sqrt {3}}}}$
$x_{2}=-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}$

L'ensemble des solutions de (E₂) est alors ${\mathcal {S}}_{2}=\left\{-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}};{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}\right\}$

Équation bicarrée 3

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{3})~:~-x^{4}-6x^{2}-5=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

On pose $X=x^{2}$ . L'équation devient $(E'_{3})~:~-X^{2}-6X-5=0$
Le discriminant vaut $\Delta =16$
$\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes

$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-1$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-5$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$

On trouve ainsi qu’il n'y a pas de solution réelle

L'ensemble des solutions de (E₃) est alors ${\mathcal {S}}_{3}=\varnothing$

Équation bicarrée 4

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{4})~:~3x^{6}+4x^{3}-6=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

On pose $X=x^{2}$ . L'équation devient $(E'_{4})~:~3X^{2}+3X-6=0$
Le discriminant vaut $\Delta =81$
$\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes

$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-2$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=1$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$

On trouve ainsi deux solutions :

$x_{11}=1~~(x_{11}^{2}=X_{1})$
$x_{12}=-1~~(x_{12}^{2}=X_{1})$

L'ensemble des solutions de (E₄) est alors ${\mathcal {S}}_{4}=\{-1;1\}$

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