Plan vectoriel euclidien

Soit ${\displaystyle A\in \mathrm {O} _{2}(\mathbb {R} )}$, c.-à-d. ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )}$ un automorphisme orthogonal de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Les colonnes de ${\displaystyle A}$ forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&-\varepsilon b\\b&\varepsilon a\end{pmatrix}}}$ avec ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ et ${\displaystyle \varepsilon =\det A=\pm 1}$.

La condition ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ équivaut à l'existence d'un réel ${\displaystyle \theta }$ tel que ${\displaystyle a=\cos \theta }$ et ${\displaystyle b=\sin \theta }$.

• Si ${\displaystyle A\in \mathrm {SO} _{2}(\mathbb {R} )}$ alors ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$, la rotation d'angle ${\displaystyle \theta }$.
• Sinon, ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \end{pmatrix}}}$, la symétrie orthogonale d'axe dirigé par ${\displaystyle (\cos(\theta /2),\sin(\theta /2))}$.