Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales

Exercice 3-1

Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel de dimension n.

Soit $\varphi \in O(B)$ , c.-à-d. $\varphi :E\to E$ une application linéaire telle que $B(\varphi (u),\varphi (v))=B(u,v)$ pour tout $u,v\in E$ .

Trouver une relation entre les matrices de φ et B dans une même base.
Montrer que det φ = ±1.
Soit $P_{\varphi }$ le polynôme caractéristique de φ. Montrer que
$P_{\varphi }(X)=(-X)^{n}(\det \varphi )P_{\varphi }(X^{-1}).$

Indication. Soit A la matrice de φ. En utilisant 1., montrer que $A^{T}$ est semblable à $A^{-1}$ .
Soit K un corps contenant K tel que $P_{\varphi }$ se décompose en facteurs linéaires sur ${\overline {K}}$ (par exemple, si $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {Q}$ , on peut supposer que ${\overline {K}}=\mathbb {C}$ ).
Montrer que si $\lambda \in {\overline {K}}$ est racine de $P_{\varphi }$ , alors $1/\lambda$ est aussi une racine de $P_{\varphi }$ , de la même multiplicité.

Solution

Soient A la matrice de φ et M celle de B.

On a $U^{T}MV=(AU)^{T}M(AV)=U^{T}A^{T}MAV$ pour toutes matrices colonnes U et V, donc $M=A^{T}MA$ .
$\det M=\det(A^{T}MA)=(\det A)^{2}\det M$ et $\det M\neq 0$ (car B est non dégénérée) donc $(\det A)^{2}=1$ , c.-à-d. $\det A=\pm 1$ .
D'après 1., $MA^{-1}M^{-1}=A^{T}$ , donc
$P_{\varphi }(X)=\det(A-X\mathrm {I} _{n})=\det((A-X\mathrm {I} _{n})^{T})=\det(A^{T}-X\mathrm {I} _{n})=\det(MA^{-1}M^{-1}-X\mathrm {I} _{n})=\det(M(A^{-1}-X\mathrm {I} _{n})M^{-1})$
$=\det(A^{-1}-X\mathrm {I} _{n})=\det(A^{-1})\det(\mathrm {I} _{n}-XA)=(\det A)^{-1}(-X)^{n}\det(-X^{-1}\mathrm {I} _{n}+A)=(\det \varphi )^{-1}(-X)^{n}P_{\varphi }(X^{-1})=(-X)^{n}(\det \varphi )P_{\varphi }(X^{-1})$ ,
la dernière égalité résultant de la question précédente.
Cette propriété est une conséquence immédiate de la précédente, d'après le fait général suivant :
si $P(X)=\prod _{i=1}^{n}(X-\lambda _{i})$ alors $X^{n}P(X^{-1})=\left((-1)^{n}\prod _{j=1}^{n}\lambda _{j}\right)\prod _{i=1}^{n}(X-1/\lambda _{i})$ .

Exercice 3-2

Montrer que l'endomorphisme de $\mathbb {R} ^{2}$ donné par la matrice ${\begin{pmatrix}t&0\\0&t^{-1}\end{pmatrix}}$ est B-orthogonal pour $B={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ .
On note $R_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$ . Montrer que l'endomorphisme de $\mathbb {R} ^{4}$ donné par la matrice ${\begin{pmatrix}tR_{\theta }&0\\0&t^{-1}R_{\theta }\end{pmatrix}}$ est B-orthogonal pour $B={\begin{pmatrix}0&\mathrm {I} _{2}\\\mathrm {I} _{2}&0\end{pmatrix}}$ .
Soit P un polynôme à coefficients réels qui vérifie la condition de la question 4 de l'exercice précédent. Monter qu'il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B et un opérateur B-orthogonal dont le polynôme caractéristique est P à un facteur constant près.

Solution

${\begin{pmatrix}t&0\\0&t^{-1}\end{pmatrix}}^{T}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t&0\\0&t^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ .
${\begin{pmatrix}tR_{\theta }&0\\0&t^{-1}R_{\theta }\end{pmatrix}}^{T}{\begin{pmatrix}0&\mathrm {I} _{2}\\\mathrm {I} _{2}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}tR_{\theta }&0\\0&t^{-1}R_{\theta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {I} _{2}\\\mathrm {I} _{2}&0\end{pmatrix}}$ .
D'après l'hypothèse, et compte tenu du fait que si $\lambda$ $\lambda$ est racine de P alors ${\overline {\lambda }}$ ${\overline {\lambda }}$ est aussi une racine de P, de même multiplicité, P est produit de facteurs des quatres formes suivantes :
- $X-\varepsilon$ avec $\varepsilon =\pm 1$ ;
- $(X-u)(X-{\overline {u}})$ avec $|u|=1$ et $u\neq \pm 1$ ;
- $(X-t)(X-1/t)$ avec $t\in \mathbb {R} \setminus \{1,-1\}$ ;
- $(X-\lambda )(X-1/\lambda )(X-{\overline {\lambda }})(X-1/{\overline {\lambda }})$ avec $|\lambda |\neq 1$ et $\lambda \notin \mathbb {R}$ .

En raisonnant par blocs, il suffit de prouver l'assertion dans le cas où P lui-même est de l'une de ces quatre formes. Pour les deux premières formes, l'assertion est immédiate, en prenant pour B le produit scalaire canonique. Pour les troisième et quatrième formes, il suffit d'utiliser les questions 1 et 2, respectivement.

Exercice 3-3

Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur $\mathbb {R} ^{2}$ telle que la matrice de Jordan ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ soit B-orthogonale ?
Même question (sur $\mathbb {R} ^{3}$ ) pour ${\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ .

Solution

Soient $A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ et $B={\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ . La matrice $A^{T}BA={\begin{pmatrix}a&a+b\\a+b&a+2b+c\end{pmatrix}}$ est égale à B si et seulement si $a=b=0$ , mais B est alors dégénérée.
Soient maintenant $A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ et $B={\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}}$ . La matrice $A^{T}BA={\begin{pmatrix}a&a+b&b+c\\a+b&a+2b+d&b+c+d+e\\b+c&b+c+d+e&d+2e+f\end{pmatrix}}$ est égale à B si et seulement si $a=b=0$ , $d=-c$ et $e=c/2$ , c.-à-d. $B={\begin{pmatrix}0&0&c\\0&-c&c/2\\c&c/2&f\end{pmatrix}}$ , et B est alors non dégénérée si et seulement si $c\neq 0$ .

Exercice 3-4

On rappelle (cf. Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables#Exercice 6) que pour tout endomorphisme d'un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension finie, il existe un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

Soient E un espace euclidien et $\varphi \in O(E)$ .

Montrer que toutes les valeurs propres de φ sont de module 1 (en particulier ses seules éventuelles valeurs propres réelles sont 1 et –1).
Montrer que pour tout sous-espace F stable par φ, le sous-espace F^⊥ est aussi stable par φ.
Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme
${\begin{pmatrix}{\begin{matrix}R_{\theta _{1}}&&\\&\ddots &\\&&R_{\theta _{k}}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{pmatrix}}$ , avec $R_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$ .
Montrer que cette matrice est diagonalisable sur $\mathbb {C}$ .

Solution

Soit un vecteur $u\neq 0$ tel que $\varphi (u)=\lambda u$ . Alors, $\|u\|=\|\varphi (u)\|=|\lambda |\|u\|$ donc $|\lambda |=1$ .
Si F est stable par φ alors F^⊥ est évidemment stable par φ* (ceci vaut pour n'importe quel endomorphisme φ), c'est-à-dire ici par φ^–1. Puisque φ^–1 préserve la dimension, l'inclusion $\varphi ^{-1}(F^{\perp })\subset F^{\perp }$ est en fait une égalité, donc $F^{\perp }=\varphi (F^{\perp })$ .
On raisonne par récurrence sur n = dim E. Si n = 0, il n'y a rien à démontrer. Supposons donc n > 0 et que l'assertion est vraie pour tout espace euclidien de dimension < n. Si φ a une valeur propre (nécessairement égale à ±1 d'après la question 1), on choisit une droite propre associée F, et l'on conclut grâce à la question 2 et à l'hypothèse de récurrence appliquée à F^⊥. Si φ n'a pas de valeur propre alors, d'après le rappel, il existe dans E un plan F φ-invariant. La restriction de φ à F est un automorphisme orthogonal du plan sans valeur propre ; c'est donc une rotation, et l'on conclut comme précédemment.
Si $\theta \notin \pi \mathbb {Z}$ , les deux valeurs propres $\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} \theta }$ de $R_{\theta }$ sont distinctes. Si $\theta \in \pi \mathbb {Z}$ , $R_{\theta }=\pm \mathrm {I} _{2}$ .

Exercice 3-5

À l'aide de l'exercice précédent, démontrer que tout endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien est à la fois :

composé de réflexions (c.-à-d. symétries orthogonales par rapport à des hyperplans) ;
composé de deux symétries orthogonales.

Solution

Il suffit de remarquer que le plan, toute rotation R est composée de deux réflexions. En effet, les réflexions du plan sont les isométries négatives, or pour toute isométrie négative S, S^–1∗R est une isométrie négative T et R = S∗T.

Exercice 3-6

Soient E un plan euclidien et φ une similitude de E dont la matrice dans une certaine base (u, v) est de la forme $A={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$ avec $b\neq 0$ . Montrer que u et v sont orthogonaux et de même norme.

Solution

Remarquons d'abord que la similitude φ est directe (car det(A) > 0). Sa matrice dans une base orthonormée quelconque (i, j) est donc égale soit à A, soit à A^T.

Soit $P={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$ la matrice de (u, v) dans (i, j).

Si A = P^–1AP, on trouve (par le calcul) que q = –r et s = p, d'où la conclusion annoncée.

Si A = P^–1A^TP alors q = r et s = –p, d'où la même conclusion.

Exercice 3-7

Déterminer la nature d'un endomorphisme orthogonal φ de $\mathbb {R} ^{3}$ ainsi que l'angle de rotation, en fonction du déterminant et de la trace de φ.

Solution

D'après l'exercice 3-4, tout endomorphisme orthogonal φ de $\mathbb {R} ^{3}$ a pour matrice, dans une certaine base orthonormée, $A={\begin{pmatrix}R_{\theta }&0\\0&\varepsilon \end{pmatrix}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$ . On a det φ = $\varepsilon$ et tr φ = $2\cos \theta +\varepsilon$ . Donc si det φ = 1, φ est une rotation et si det φ = –1, φ est une rotation suivie (ou précédée) de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe de cette rotation. Dans les deux cas, l'angle de rotation a pour cosinus ${\frac {\operatorname {tr} \varphi -\det \varphi }{2}}$ .

Exercice 3-8

Pour chacune des trois matrices orthogonales suivantes, trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice prend la forme canonique de l’exercice 3-4 :

A={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&-1&2\\2&2&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}},\quad B={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}3&1&-{\sqrt {6}}\\1&3&{\sqrt {6}}\\{\sqrt {6}}&-{\sqrt {6}}&2\end{pmatrix}},\quad C={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}

.

Solution

Le vecteur unitaire $w={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ vérifie $Aw=w$ et $-1$ n'est pas valeur propre. On complète en choisissant un couple orthonormé $(u,v)$ dans le plan stable $w^{\perp }$ , par exemple $u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ et $v={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}}$ .
$Au={\frac {1}{2}}u+{\frac {\sqrt {3}}{2}}v$ donc la matrice de l'endomorphisme orthogonal dans la nouvelle base $(u,v,w)$ est ${\begin{pmatrix}R_{\frac {\pi }{3}}&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .
Le vecteur unitaire $w={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ vérifie $Bw=w$ et $-1$ n'est pas valeur propre. On complète en choisissant un couple orthonormé $(u,v)$ dans le plan stable $w^{\perp }$ , par exemple $u={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ et $v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ .
$Bu={\frac {1}{2}}u+{\frac {\sqrt {3}}{2}}v$ donc à nouveau, la matrice de l'endomorphisme orthogonal dans la nouvelle base $(u,v,w)$ est ${\begin{pmatrix}R_{\frac {\pi }{3}}&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .
Le vecteur unitaire $a={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$ vérifie $Ca=-a$ et l'hyperplan $a^{\perp }$ est propre pour $1$ donc la matrice de l'endomorphisme orthogonal dans la nouvelle base $(a,b,c,d)$ sera ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&\mathrm {I} _{3}\end{pmatrix}}$ , quel que soit le choix d'un triplet orthonormé $(b,c,d)$ dans $a^{\perp }$ .
Par exemple $b={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}}$ , $c={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}$ et $d={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}}$ .

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