Présentation générale

En géométrie affine, une droite est généralement considérée comme un « alignement de points ». Cet alignement est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un vecteur (non nul).

Définir une représentation paramétrique de la droite consistera à faire intervenir une variable qui décrit l'alignement. Cette description se fera en coordonnées cartésiennes, dans un repère affine.

Dans cette leçon, l'espace affine ${\displaystyle E}$ considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère ${\displaystyle (O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$ (non nécessairement orthonormé ni même orthogonal).

Définition d'une droite affine

Définition

Soient ${\displaystyle A}$ un point et ${\displaystyle {\vec {u}}}$ un vecteur non nul.

La droite passant par le point ${\displaystyle A}$ et de vecteur directeur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est l'ensemble, noté ${\displaystyle A+\mathbb {R} {\vec {u}}}$, des points ${\displaystyle M}$ de l'espace tels que ${\displaystyle {\overrightarrow {AM}}}$ soit colinéaire à ${\displaystyle {\vec {u}}}$ :

${\displaystyle A+\mathbb {R} {\vec {u}}=\{A+t{\vec {u}}\mid t\in \mathbb {R} \}=\{M\in E\mid \exists t\in \mathbb {R} \quad {\overrightarrow {AM}}=t{\vec {u}}\}}$.

Remarque

L'application ${\displaystyle \mathbb {R} \to A+\mathbb {R} {\vec {u}},\ t\mapsto A+t{\vec {u}}}$ est une bijection, c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel ${\displaystyle t}$ et réciproquement. Le point ${\displaystyle A}$ correspond à ${\displaystyle t=0}$.

Proposition

Pour deux points distincts ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de l'espace, la droite ${\displaystyle (AB):=A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}}$ est l'unique droite passant par ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$.

Représentation paramétrique

Étant donné un repère ${\displaystyle (O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$, par définition :

• le triplet des coordonnées d'un vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est l'unique matrice colonne ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \end{pmatrix}}}$ telle que ${\displaystyle {\vec {u}}=\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}}}$ ;
• les coordonnées ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix}}}$ d'un point ${\displaystyle A}$ sont les coordonnées du vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$.

La représentation paramétrique d'une droite s'écrit donc :

• pour une droite définie par un point ${\displaystyle A}$ et un vecteur directeur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ (non nul) :

${\displaystyle A+\mathbb {R} {\vec {u}}:{\begin{cases}x=x_{A}+t\alpha \\y=y_{A}+t\beta \\z=z_{A}+t\gamma \end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )}$ ;

• pour une droite définie par deux points distincts ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle (AB):{\begin{cases}x=x_{A}+t\left(x_{B}-x_{A}\right)=\left(1-t\right)x_{A}+tx_{B}\\y=y_{A}+t\left(y_{B}-y_{A}\right)=\left(1-t\right)y_{A}+ty_{B}\\z=z_{A}+t\left(z_{B}-z_{A}\right)=\left(1-t\right)z_{A}+tz_{B}\end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )}$, ou encore, en échangeant les rôles de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle (AB):{\begin{cases}x=sx_{A}+\left(1-s\right)x_{B}\\y=sy_{A}+\left(1-s\right)y_{B}\\z=sz_{A}+\left(1-s\right)z_{B}\end{cases}}\quad (s\in \mathbb {R} )}$

On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de ${\displaystyle (A,(1-t)),(B,t)}$ ou de ${\displaystyle (A,s),(B,(1-s))}$.

Remarque

Réciproquement, pour tous triplets de réels ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )\neq (0,0,0)}$ et ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$,

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha \\y=y_{0}+t\beta \\z=z_{0}+t\gamma \end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )}$

est la représentation paramétrique (dans le repère ${\displaystyle (O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$) de la droite passant par le point de coordonnées ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}}$ et de vecteur directeur ${\displaystyle \alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}}}$.