Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée

Exercice 3-1

Étudier la dérivabilité sur $\mathbb {R}$ de la fonction $f$ définie par :

f(x)=E(x)\sin ^{2}(\pi x)

( $E$ désignant la fonction « partie entière »).

Solution

$f$ est évidemment dérivable sur chaque intervalle ouvert $\left]n,n+1\right[$ (avec $n\in \mathbb {Z}$ ) et dérivable à droite en $n$ , de dérivée (à droite) en ce point égale à $2n\sin(\pi n)\cos(\pi n)=0$ .

Elle est aussi dérivable à gauche en ce point et de dérivée (à gauche en ce point) nulle, donc finalement, dérivable sur $\mathbb {R}$ .

En effet, quand $h\to 0^{-}$ , ${\frac {f(n+h)-f(n)}{h}}={\frac {\left(n-1\right)\sin ^{2}(\pi (n+h))}{h}}=\left(n-1\right){\frac {\sin ^{2}(\pi h)}{h}}\sim \left(n-1\right)\pi ^{2}h\to 0$ .

Exercice 3-2

Étudier la dérivabilité sur $\mathbb {R}$ de la fonction $f$ définie par :

f(x)={\begin{cases}{\frac {{\sqrt {1+x}}-1}{\sqrt {x}}}&{\text{si }}x>0,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}

Solution

$f$ est évidemment dérivable sur $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ et de dérivée à gauche nulle en 0. Elle est également continue en 0, mais pas dérivable à droite en ce point car

quand $x\to 0^{+}$ , ${\frac {f(x)-f(0)}{x}}={\frac {{\sqrt {1+x}}-1}{x^{3/2}}}\sim {\frac {x/2}{x^{3/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\to +\infty$

Exercice 3-3

Soient $u,\,v,\,w,\,u_{1},\,u_{2},\,\cdots ,\,u_{n}$ des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.

Pour $y=uv$ , calculer ${\frac {y'}{y}}$ .
Généraliser pour $w=u_{1}u_{2}\cdots u_{n}$ .
En déduire que la dérivée de $u^{n}$ est $nu^{n-1}u'$ .

Solution

${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}$ .
On en déduit que ${\frac {(u_{1}u_{2}\cdots u_{n})'}{u_{1}u_{2}\cdots u_{n}}}={\frac {u_{1}'}{u_{1}}}+\dots +{\frac {u_{n}'}{u_{n}}}$ , par récurrence sur $n$ .
En particulier, ${\frac {(u^{n})'}{u^{n}}}=n{\frac {u'}{u}}$ .

Exercice 3-4

On pose :

P(x)=5x^{3}+ax^{2}+bx+c

.

1° Déterminer $k$ pour que :

\forall x\in \mathbb {R} \qquad P(x)+k\left(x-1\right)P'(x)+\left(x^{2}-1\right)P''(x)=0

.

2° Calculer alors $a,\,b,\,c$ .

3° Prouver que $P(x)$ est alors de la forme :

P(x)=\left(x-1\right)Q(x)

où

Q(x)

est un polynôme que l'on déterminera.

Solution

1° Pour que $P+k\left(X-1\right)P'+\left(X^{2}-1\right)P''=0$ , il faut avant tout que $P(1)=0$ , c'est-à-dire $c=-5-a-b$ , et l'on a alors

P=5\left(X^{3}-1\right)+a\left(X^{2}-1\right)+b\left(X-1\right)=\left(X-1\right)Q

pour

Q=5\left(X^{2}+X+1\right)+a\left(X+1\right)+b

, donc le polynôme

{\begin{aligned}{\frac {P+k\left(X-1\right)P'+\left(X^{2}-1\right)P''}{X-1}}&=Q+kP'+\left(X+1\right)P''\\&=5\left(X^{2}+X+1\right)+a\left(X+1\right)+b+k\left(15X^{2}+2aX+b\right)+\left(X+1\right)\left(30X+2a\right)\\&=5X^{2}\left(7+3k\right)+X\left(3a+b+2ak+35\right)+5+3a+kb\end{aligned}}

est nul si et seulement si

k=-{\frac {7}{3}}

,

b-{\frac {5}{3}}a+35=0

et

5+3a-{\frac {7}{3}}b=0

.

2° $a={\frac {195}{2}}$ , $b={\frac {255}{2}}$ , $c=-230$ .

3° Cf. 1°.

Exercice 3-5

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme $x^{2}+px+q$ admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.

Solution

$0=(-p/2)^{2}+p(-p/2)+q=0\Leftrightarrow p^{2}=4q$ .

Exercice 3-6

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme $P(x)=x^{3}+px+q$ soit tel que son polynôme dérivé admette

au moins une racine qui soit également racine de $P$ ;
deux racines qui soient également racines de $P$ .

Solution

$P$ a une racine double $a$ si $X^{3}+pX+q=\left(X-a\right)^{2}\left(X+2a\right)$ , c'est-à-dire $p=-3a^{2}$ et $q=2a^{3}$ . Il existe un tel $a$ si et seulement si $\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=\left(-{\frac {p}{3}}\right)^{3}$ , c'est-à-dire $4p^{3}+27q^{2}=0$ .
$P$ ne peut pas avoir deux racines doubles puisqu'il n'est que de degré $3$ .

Exercice 3-7

Déterminer un polynôme $P(x)$ du troisième degré tel que :

{\begin{cases}P'''(x)=6\\P(x)-{\frac {x}{3}}P'(x)+P''(x)=0.\end{cases}}

Solution

Soit $P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ . Alors, $P'''=6a$ et $P-{\frac {x}{3}}P'+P''={\frac {b}{3}}X^{2}+{\frac {2c}{3}}X+d+6a$ donc la solution est $a=1,b=c=0,d=-6$ , c'est-à-dire $P=X^{3}-6$ .

Exercice 3-8

Soient $I\subset \mathbb {R}$ tel que $-I=I$ , et $f:I\to \mathbb {R}$ une fonction dérivable. Prouver que si $f$ est paire alors $f'$ est impaire et que si $f$ est impaire alors $f'$ est paire.

Solution

Soit $\varepsilon =\pm 1$ . Si $\forall x\in I\quad f(-x)=\varepsilon f(x)$ alors $\forall x\in I\quad -f'(-x)=\varepsilon f'(x)$ .

Exercice 3-9

Prouver que si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en zéro, telles que $f(0)=g(0)=0$ et $g'(0)\neq 0$ , alors :

\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(0)}{g'(0)}}

.

Solution

Voir Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination#Règle simple de L'Hôpital.

Exercice 3-10

Démontrer que si f est une fonction dérivable en $x_{0}$ , alors :

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}}=f(x_{0})-x_{0}f'(x_{0})

.

Solution

${\frac {xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}}-f(x_{0})=-x_{0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

Exercice 3-11

Préciser la fonction $f$ telle que :

f(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}

.

En déduire une expression de chacune des sommes :

S(x)=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots +nx^{n-1}

;

S_{1}(x)=2+6x+12x^{2}+20x^{3}+\cdots +n(n-1)x^{n-2}

.

Solution

$f(1)=n+1$ et $\forall x\neq 1\quad f(x)={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ .

$\forall x\neq 1\quad S(x)=f'(x)={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}$ . Puisque $S$ est continue, $S(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {n(1+h)^{n+1}-(n+1)(1+h)^{n}+1}{h^{2}}}$ donc (par la formule du binôme) $S(1)={\frac {n(n+1)}{2}}$ .

De même, $\forall x\neq 1\quad S_{1}(x)=S'(x)={\frac {n(n-1)x^{n+1}-2(n^{2}-1)x^{n}+n(n+1)x^{n-1}-2}{(x-1)^{3}}}$ et $S_{1}(1)={\frac {n(n^{2}-1)}{3}}$ .

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