Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

Nous allons étudier dans ce chapitre le développement limité d'une fonction en un point de son domaine de dérivabilité.

Définition

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction dérivable en un réel ${\displaystyle x_{0}}$ de son domaine de définition. Soit ${\displaystyle a}$ son nombre dérivé en ${\displaystyle x_{0}}$. On définit alors une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$, dont la variable sera notée ${\displaystyle h}$, par :

${\displaystyle \varepsilon (h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-a}$.

Nous voyons immédiatement que :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-a\right]=a-a=0}$.

D'autre part, nous voyons que :

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-a&\Leftrightarrow {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=a+\varepsilon (h)\\&\Leftrightarrow f(x_{0}+h)-f(x_{0})=ah+h\varepsilon (h)\\&\Leftrightarrow f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h).\end{aligned}}}$

Par définition, nous dirons que ${\displaystyle f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)}$ est le développement limité d'ordre 1 de la ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x_{0}}$.

Nous poserons alors la définition suivante :

Développement limité d'ordre 1

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction numérique définie sur un intervalle ${\displaystyle \left]c,d\right[}$ et soit ${\displaystyle x_{0}}$ appartenant à ${\displaystyle \left]c,d\right[}$.

Nous dirons que ${\displaystyle f}$ admet un développement limité d'ordre 1 en ${\displaystyle x_{0}}$ s'il existe un réel ${\displaystyle a}$ et une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$ vérifiant :

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)}$ avec ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0}$

Toute fonction dérivable en un point ${\displaystyle x_{0}}$ admet donc un développement limité d'ordre 1 en ${\displaystyle x_{0}}$.

Visualisation graphique

De façon à mieux visualiser ce qu'est un développement limité d'ordre 1, nous allons étudier le graphique représenté à droite. Sur ce graphique, nous avons représenté une portion de courbe représentative d'une fonction et au point ${\displaystyle M}$ d'abscisse ${\displaystyle x_{0}}$ nous avons tracé la tangente à la courbe. Nous avons ensuite représenté une verticale coupant l'axe des abscisses en un point ${\displaystyle A}$ d'abscisse ${\displaystyle x_{0}+h}$. Cette verticale recoupe la tangente et la courbe respectivement en ${\displaystyle C}$ et en ${\displaystyle D}$. Nous avons ensuite représenté trois horizontales passant respectivement par ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$, l'horizontale passant par ${\displaystyle M}$ recoupe la verticale en ${\displaystyle B}$.

Nous pouvons alors écrire :

${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}}$.

Sur le schéma, nous voyons immédiatement que :

${\displaystyle {\overline {AB}}=f(x_{0})}$ et ${\displaystyle {\overline {AD}}=f(x_{0}+h)}$.

Pour le calcul ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, nous pouvons considérer le triangle ${\displaystyle MBC}$ rectangle en ${\displaystyle B}$. Nous savons que le coefficient directeur d'une droite est la tangente de l'angle entre cette droite et l'horizontale. Nous avons donc :

${\displaystyle \tan {\widehat {BMC}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {MB}}}={\frac {\overline {BC}}{h}}}$.

Nous savons aussi que le coefficient directeur est donné par ${\displaystyle a}$, le nombre dérivé de la fonction en ${\displaystyle x_{0}}$ ; nous obtenons donc :

${\displaystyle a={\frac {\overline {BC}}{h}}}$,

ce qui nous donne :

${\displaystyle {\overline {BC}}=ah}$.

En reportant tout ce que nous avons trouvé dans :

${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}}$,

nous obtenons :

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+{\overline {CD}}}$

et là, une simple comparaison avec la formule :

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)}$

nous montre que :

${\displaystyle {\overline {CD}}=h\varepsilon (h)}$.

Nous avons représenté toutes les valeurs que nous avons calculées sur le dessin.

Approximation affine

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction dérivable en ${\displaystyle x_{0}}$. Nous avons vu que cette fonction admet un développement en ${\displaystyle x_{0}}$ et nous pouvons écrire :

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)}$ avec ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0}$

Si nous regardons de plus près ce développement, nous voyons que nous pouvons le considérer comme une fonction d'une variable ${\displaystyle h}$ pouvant s'écrire comme somme de deux fonctions :

• d'une part, nous avons la fonction ${\displaystyle h\mapsto f(x_{0})+ah}$ qui est une fonction affine ;
• d'autre part, nous avons la fonction ${\displaystyle h\mapsto h\varepsilon (h)}$ qui représente l'écart entre la fonction ${\displaystyle f}$ et la fonction ${\displaystyle h\mapsto f(x_{0})+ah}$.

Cela signifie que si l'on remplace la fonction ${\displaystyle f}$ par la fonction ${\displaystyle h\mapsto f(x_{0})+ah}$, on commet une erreur donnée par une fonction ${\displaystyle e}$ définie pour tout ${\displaystyle h}$ par :

${\displaystyle e(h)=\left|h\varepsilon (h)\right|}$.

Ce qui est remarquable dans cette erreur, c'est quelle s'exprime comme une valeur absolue du produit de deux fonctions qui tendent vers ${\displaystyle 0}$ lorsque ${\displaystyle h}$ tend vers ${\displaystyle 0}$. Nous pouvons alors penser que pour ${\displaystyle h}$ suffisamment proche de ${\displaystyle 0}$ l'erreur sera très faible.

On dira donc que l'on fait une approximation affine de la fonction ${\displaystyle f}$ lorsque l'on substituera à celle-ci la fonction ${\displaystyle h\mapsto f(x_{0})+ah}$.

Exemple d'approximations affines

Différentiabilité

Nous poserons la définition suivante :

Fonction différentiable en ${\displaystyle x_{0}}$

Une fonction numérique sera dite différentiable en un point ${\displaystyle x_{0}}$ de son domaine de définition si elle admet un développement limité d'ordre 1 en ${\displaystyle x_{0}}$, autrement dit s'il existe un nombre ${\displaystyle a}$ et une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$ telle que :

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)}$ avec ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0}$.

Nous avons la propriété suivante :

Dérivabilité d'une fonction différentiable

Une fonction numérique différentiable en un point ${\displaystyle x_{0}}$ de son domaine de définition sera aussi dérivable en ${\displaystyle x_{0}}$.