Pour construire un n-uplet contenant n_i fois x_i pour chaque indice i, il suffit de choisir :

• les n₁ emplacements des x₁, parmi les n = n₁ + n₂ + ... + n_k places disponibles ;
• puis, les n₂ emplacements des x₂, parmi les n₂ + ... +n_k places restantes ;
• etc.
• enfin, les n_k emplacements des x_k, parmi les n_k places restantes.

Au total, il y a donc

${\displaystyle {\binom {n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}}{n_{1}}}{\binom {n_{2}+\ldots +n_{k}}{n_{2}}}\dots {\binom {n_{k}}{n_{k}}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{k}!}}}$ permutations.

Lorsqu'on développe par distributivité l'expression

${\displaystyle \left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{m}\right)^{n}=\left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{m}\right)\left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{m}\right)\dots \left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{m}\right)\qquad (n{\text{ fois}})}$,

et qu'on réordonne les indéterminées dans chaque monôme, on obtient une somme de monômes de la forme ${\displaystyle X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{m}^{k_{m}}}$ où ${\displaystyle k_{i}}$ représente le nombre de parenthèses dans lesquelles on a sélectionné ${\displaystyle X_{i}}$ en développant. Pour chacun de ces monômes, la somme des ${\displaystyle k_{i}}$ est égale à ${\displaystyle n}$ (le nombre total de parenthèses), et ce monôme apparaît ${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$ fois dans le développement puisque c'est le nombre de façons de choisir lesquelles, parmi les ${\displaystyle n}$ parenthèses, seront pour chaque ${\displaystyle i}$ les ${\displaystyle k_{i}}$ parenthèses dans lesquelles c'est ${\displaystyle X_{i}}$ qui est sélectionné.

(i) Pour ${\displaystyle m=1}$, les deux membres valent ${\displaystyle X_{1}^{n}}$.

(ii) Supposons le théorème vrai au rang ${\displaystyle m}$. Alors,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{m}+X_{m+1}\right)^{n}&=\left(X_{1}+X_{2}+\dots +\left(X_{m}+X_{m+1}\right)\right)^{n}\\&=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},K}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{m-1}^{k_{m-1}}\left(X_{m}+X_{m+1}\right)^{K}\end{aligned}}}$

par hypothèse de récurrence. Puis, en appliquant la formule du binôme au dernier facteur :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{m}+X_{m+1}\right)^{n}&=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},K}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}X_{m}^{k_{m}}X_{m+1}^{k_{m+1}}\\&\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{m-1}^{k_{m-1}}X_{m}^{k_{m}}X_{m+1}^{k_{m+1}},\end{aligned}}}$

ce qui termine la récurrence. Pour la dernière étape, on a utilisé le fait que

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\dots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}$,

car

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m+1}!}}}$.

Pour tous nombres ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},t}$ complexes (ou même simplement réels),

${\displaystyle \exp \left(t\left(x_{1}+\dots +x_{m}\right)\right)=\exp \left(tx_{1}\right)\dots \exp \left(tx_{m}\right)}$

d'où, par identification du coefficient de ${\displaystyle t^{n}}$ dans le développement en série entière des deux membres :

${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+\dots +x_{m}\right)^{n}}{n!}}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{\frac {x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}}$.

(On peut rendre purement algébrique cette preuve « analytique », en raisonnant sur des séries formelles plutôt que des séries entières.)