${\displaystyle \Sigma }$ a pour équation ${\displaystyle f=0}$ où ${\displaystyle f}$ est définie par ${\displaystyle f\left(x,y,z\right)=xy-z^{2}}$.

Le plan tangent ${\displaystyle T_{M_{0}}\Sigma }$ est le plan contenant ${\displaystyle M_{0}}$ et normal au vecteur gradient ${\displaystyle \nabla f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\left(y_{0},x_{0},-2z_{0}\right)}$ (non nul par hypothèse).

Il a donc pour équation ${\displaystyle (x-x_{0})y_{0}+(y-y_{0})x_{0}-2(z-z_{0})z_{0}=0}$, soit ${\displaystyle y_{0}x+x_{0}y-2z_{0}z=0}$.

${\displaystyle S}$ a pour équation ${\displaystyle f=0}$ où ${\displaystyle f}$ est définie par ${\displaystyle f\left(x,y,z\right)=xy-z^{3}}$.

1. Pour tout point ${\displaystyle M_{0}=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\in S}$, le plan tangent ${\displaystyle T_{M_{0}}S}$ est le plan contenant ${\displaystyle M_{0}}$ et normal au vecteur gradient ${\displaystyle \nabla f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\left(y_{0},x_{0},-3z_{0}^{2}\right)}$ (sauf au point singulier ${\displaystyle O=\left(0,0,0\right)}$, en lequel il n'y a pas de plan tangent). Il a donc pour équation ${\displaystyle y_{0}\left(x-x_{0}\right)+x_{0}\left(y-y_{0}\right)-3z_{0}^{2}\left(z-z_{0}\right)=0}$, qui se réécrit ${\displaystyle y_{0}x+x_{0}y-3z_{0}^{2}z=2x_{0}y_{0}-3z_{0}^{3}}$. Donc
   ${\displaystyle T_{M_{0}}S=\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y_{0}x+x_{0}y-3z_{0}^{2}z=-z_{0}^{3}\}}$.
   La droite ${\displaystyle D}$ peut être paramétrée par exemple par ${\displaystyle z}$ :
   ${\displaystyle D=\{\left(2,3z-3,z\right)\mid z\in \mathbb {R} \}}$.
   Par conséquent,
   ${\displaystyle {\begin{aligned}D\subset T_{M_{0}}S&\Leftrightarrow \forall z\in \mathbb {R} \quad 2y_{0}+x_{0}\left(3z-3\right)-3z_{0}^{2}z=-z_{0}^{3}\\&\Leftrightarrow \forall z\in \mathbb {R} \quad z\left(3x_{0}-3z_{0}^{2}\right)+\left(2y_{0}-3x_{0}+z_{0}^{3}\right)=0\\&\Leftrightarrow x_{0}=z_{0}^{2}\quad {\text{et}}\quad 2y_{0}-3x_{0}+z_{0}^{3}=0\\&\Leftrightarrow x_{0}=z_{0}^{2}{\text{ et }}y_{0}=z_{0}^{2}{\frac {3-z_{0}}{2}}.\end{aligned}}}$
   On a alors ${\displaystyle 0=x_{0}y_{0}-z_{0}^{3}=z_{0}^{4}{\frac {3-z_{0}}{2}}-z_{0}^{3}={\frac {z_{0}^{3}}{2}}\left(3z_{0}-z_{0}^{2}-2\right)=-{\frac {z_{0}^{3}}{2}}\left(z_{0}-1\right)\left(z_{0}-2\right)}$ donc (puisque ${\displaystyle M_{0}\neq O}$)

   ${\displaystyle M_{0}=\left(1,1,1\right)\quad {\text{ou}}\quad \left(4,2,2\right)}$.

2. Calculons le développement limité à l'ordre ${\displaystyle 2}$ de ${\displaystyle z={\sqrt[{3}]{xy}}}$ quand ${\displaystyle x=x_{0}+u}$ et ${\displaystyle y=y_{0}+v}$ avec ${\displaystyle u,v\to 0}$. Soit ${\displaystyle z_{0}={\sqrt[{3}]{x_{0}y_{0}}}}$.
   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\left(x_{0}+u\right)\left(y_{0}+v\right)}}&=z_{0}\left(1+{\frac {u}{x_{0}}}\right)^{1/3}\left(1+{\frac {v}{y_{0}}}\right)^{1/3}\\&=z_{0}\left(1+{\frac {u}{3x_{0}}}-{\frac {u^{2}}{9x_{0}^{2}}}\right)\left(1+{\frac {v}{3y_{0}}}-{\frac {v^{2}}{9y_{0}^{2}}}\right)+o\left(u^{2}+v^{2}\right)\\&=z_{0}+{\frac {z_{0}}{3x_{0}}}u+{\frac {z_{0}}{3y_{0}}}v+{\frac {z_{0}}{9}}\left(-{\frac {u^{2}}{x_{0}^{2}}}+{\frac {uv}{x_{0}y_{0}}}-{\frac {v^{2}}{y_{0}^{2}}}\right)+o\left(u^{2}+v^{2}\right).\end{aligned}}}$
   On retrouve à l'ordre 1 l'équation du plan tangent (${\displaystyle z=z_{0}+{\frac {z_{0}}{3x_{0}}}u+{\frac {z_{0}}{3y_{0}}}v=z_{0}+{\frac {y_{0}u+x_{0}v}{3z_{0}^{2}}}}$), et le terme d'ordre 2 (la différence entre la hauteur d'un point de la surface et celle d'un point du plan sur la même verticale) est du signe de ${\displaystyle -z_{0}}$, donc la surface est en dessous de son plan tangent si ${\displaystyle x_{0}y_{0}>0}$ et au-dessus si ${\displaystyle x_{0}y_{0}<0}$.

Hyperboloïde à une nappe (${\displaystyle \lambda >0}$).

Hyperboloïde à deux nappes (${\displaystyle \lambda >0}$).

1. ${\displaystyle S_{\lambda }}$ est une sous-variété si en chacun de ses points, l'application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}$ est une submersion, c.-à-d. si, pour tout ${\displaystyle x\in S_{\lambda }}$, le vecteur ${\displaystyle \nabla f(x)=(2x_{1},2x_{2},-2x_{3})}$ est non nul. Cela équivaut à ${\displaystyle (0,0,0)\notin S_{\lambda }}$ donc à ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.
   ${\displaystyle S_{\lambda }}$ est une surface de révolution, d'axe ${\displaystyle (Ox_{3})}$. C'est un cône si ${\displaystyle \lambda =0}$ et un hyperboloïde sinon, à une nappe si ${\displaystyle \lambda >0}$ et deux nappes si ${\displaystyle \lambda <0}$.
2. ${\displaystyle T_{x}S_{\lambda }=\ker \mathrm {d} f_{x}=\nabla f(x)^{\bot }=\ker B(x,\cdot )}$.

1. La surface ${\displaystyle S_{0}}$ est une sous-variété de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ car en chacun de ses points, l'application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\mapsto x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}$ est une submersion, c.-à-d. que pour tout ${\displaystyle (x,y,z)\in S_{0}}$, le vecteur ${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=3(x^{2}-yz,y^{2}-xz,z^{2}-xy)}$ est non nul. En effet, les ${\displaystyle (x,y,z)}$ pour lesquels ce vecteur est nul vérifient : ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$.
2. La courbe ${\displaystyle C_{0}}$ n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 1 (de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) car ${\displaystyle O}$ est un point double : au voisinage de ce point, ${\displaystyle C_{0}}$ privée de ${\displaystyle O}$ a 4 composantes connexes, au lieu de 2.
3. La courbe ${\displaystyle C_{1}}$ (la « fenêtre de Viviani ») a pour paramétrage ${\displaystyle M(\theta )=(\cos ^{2}\theta ,\cos \theta \sin \theta ,\sin \theta )}$. Le point double ${\displaystyle M(0)=(1,0,0)=M(\pi )}$ fait que — comme ${\displaystyle C_{0}}$ — ${\displaystyle C_{1}}$ n'est pas une sous-variété, même topologique.
4. La courbe ${\displaystyle C_{2}=\{({\sqrt[{3}]{y^{2}}},y)\mid y\in \mathbb {R} \}}$ est une sous-variété topologique (localement homéomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$) de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mais pas une sous-variété différentiable, car ${\displaystyle O=(0,0)}$ est un point de rebroussement donc le cône tangent (l'ensemble des vecteurs de la forme ${\displaystyle \lim {\frac {\overrightarrow {OM_{n}}}{t_{n}}}}$ avec ${\displaystyle M_{n}\to O}$ et ${\displaystyle t_{n}\to 0^{+}}$, ou encore, de la forme ${\displaystyle \gamma '_{d}(0)=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {\gamma (t)-\gamma (0)}{t}}}$ pour ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,\varepsilon \right[\to C_{2}} telle que ${\displaystyle \gamma (0)=O}$) est une demi-droite et non une droite.
5. Le cône ${\displaystyle S_{1}}$ n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 2 (de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) car son sommet ${\displaystyle O}$ est un point double : au voisinage de ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle S_{1}}$ privé de ${\displaystyle O}$ a 2 composantes connexes, au lieu de 1.

Sans perte de généralité, l'axe du cylindre passe par un point de la forme ${\displaystyle (a,0,0)}$ avec ${\displaystyle a\geq 0}$.

La courbe ${\displaystyle S\cap C}$ est alors le lieu d'annulation de ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},\ (x,y,z)\mapsto (x^{2}+y^{2}+z^{2}-1,(x-a)^{2}+y^{2}-r^{2})}$.

La matrice ${\displaystyle \mathrm {J} f(x,y,z)=2{\begin{pmatrix}x&y&z\\x-a&y&0\end{pmatrix}}}$ est de rang 2 sauf si ${\displaystyle yz=(x-a)z=ay=0}$.

• Si ${\displaystyle a=0}$, cela n'est possible (sur ${\displaystyle S\cap C}$) que si ${\displaystyle r=1}$ mais dans ce cas, ${\displaystyle S\cap C}$ est quand même une courbe lisse (le cercle équatorial de ${\displaystyle S}$).
• Si ${\displaystyle a\neq 0}$, cela n'est possible (sur ${\displaystyle S\cap C}$) que si ${\displaystyle r\in \{1+a,1-a,a-1\}}$.
  • Si ${\displaystyle r=a+1}$, la sphère est tangente intérieurement au cylindre.
  • Si ${\displaystyle r=a-1}$, c'est l'inverse.
  • Si ${\displaystyle r=1-a}$, la courbe ${\displaystyle S\cap C}$ est une hippopède (en forme de 8) donc elle a un point double et n'est pas une variété (pour ${\displaystyle a=r={\frac {1}{2}}}$, on retrouve la fenêtre de Viviani de l'exercice précédent).

1. Posons ${\displaystyle f:(x,y,z)\mapsto xy+xz+yz+2x+2y-z}$. Alors, ${\displaystyle \mathrm {J} f=(y+z+2,x+z+2,x+y-1)}$ est nulle seulement en ${\displaystyle (1/2,1/2,-5/2)}$, point en lequel ${\displaystyle f\neq 0}$. Donc ${\displaystyle S}$ est une sous-variété (de dimension 2) de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Son plan tangent en ${\displaystyle (0,0,0)}$ est ${\displaystyle \ker(\mathrm {D} f_{(0,0,0)})}$, d'équation ${\displaystyle 2x+2y-z=0}$.
2. Posons ${\displaystyle g:(x,y,z)\mapsto (4xy+2xz+4y-z,xy+xz+yz+2x+2y-z)}$. Alors, ${\displaystyle \mathrm {J} g(0,0,0)={\begin{pmatrix}0&4&-1\\2&2&-1\end{pmatrix}}}$ est de rang 2 et son noyau est la droite de vecteur directeur ${\displaystyle (1,1,4)}$.
3. L'application ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},\;(x,y,z)\mapsto (x^{2}+y^{2}-z^{2},2x+y+1)}$ est C^∞. Soit ${\displaystyle (x,y,z)\in C}$. Alors, ${\displaystyle z\neq 0}$ et ${\displaystyle J_{(x,y,z)}F=\left({\begin{smallmatrix}2x&2y&-2z\\2&1&0\end{smallmatrix}}\right)}$ est de rang 2 (en considérant le mineur formé des 2 dernières colonnes). Donc ${\displaystyle F}$ est une submersion en tout point de ${\displaystyle C}$, ce qui prouve que ${\displaystyle C}$ est une sous-variété lisse de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, de dimension ${\displaystyle 3-2=1}$. ${\displaystyle F(a)=0}$ donc ${\displaystyle a\in C}$. La droite ${\displaystyle T_{a}C=\ker \mathrm {D} _{a}F}$ est l'ensemble des triplets ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )\in \mathbb {R} ^{3}}$ tels que ${\displaystyle -2\alpha +2\beta -2{\sqrt {2}}\gamma =2\alpha +\beta =0}$.

1. ${\displaystyle f}$ est la composée de l'application produit ${\displaystyle B:\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\times \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ (bilinéaire) et de l'application ${\displaystyle ({}^{t}\!\cdot ,\mathrm {id} )}$ (linéaire) donc (cf. chap. 2) ${\displaystyle \mathrm {D} _{A}f(H)=\mathrm {D} B_{({}^{t}\!A,A)}({}^{t}\!H,H)=B({}^{t}\!A,H)+B({}^{t}\!H,A)}$.
2. ${\displaystyle \mathrm {D} _{A}f(H)={}^{t}\!AH+{}^{t}\!HA={}^{t}\!A{\frac {1}{2}}AS+{}^{t}\!({\frac {1}{2}}AS)A={\frac {1}{2}}{}^{t}\!AAS+{\frac {1}{2}}{}^{t}\!S{}^{t}\!AA={\frac {1}{2}}S+{\frac {1}{2}}{}^{t}\!S=S}$. On en déduit que ${\displaystyle \mathrm {D} _{A}f}$ est surjective donc ${\displaystyle \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )=f^{-1}(\{\mathrm {I} _{n}\})}$ est une sous-variété de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$, de dimension ${\displaystyle \dim \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )-\dim E=n^{2}-n(n+1)/2=n(n-1)/2}$. L'espace tangent en ${\displaystyle \mathrm {I} _{n}}$ est ${\displaystyle \ker(\mathrm {D} _{\mathrm {I} _{n}}f)=\{H\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\mid {}^{t}\!H+H=0\}}$.

1. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+y+z-1)\Longleftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1^{2}}$
   donc ${\displaystyle S}$ est la sphère de centre ${\displaystyle (1,1,1)}$ et de rayon ${\displaystyle 1}$.
2. En un point ${\displaystyle M_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$, un vecteur normal à cette surface d'équation ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ est ${\displaystyle \operatorname {grad} f(M_{0})=2(x_{0}-1,y_{0}-1,z_{0}-1)}$ (c'était d'ailleurs évident géométriquement : pour une sphère, le vecteur radial est normal) donc le plan tangent a pour équation ${\displaystyle \langle {\overrightarrow {\nabla f}}(M_{0}),{\overrightarrow {M_{0}M}}\rangle =0}$, c'est-à-dire (en simplifiant par ${\displaystyle 2}$)

   ${\displaystyle (x_{0}-1)(x-x_{0})+(y_{0}-1)(y-y_{0})+(z_{0}-1)(z-z_{0})=0}$
   (accessoirement, compte tenu du fait que ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in S}$, on peut remarquer que cette équation de plan équivaut à ${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=2(x_{0}+y_{0}+z_{0}-1)}$).

3. On vérifie que ${\displaystyle f}$ est nulle aux deux points ${\displaystyle M_{0}=(1,1,0)}$ et ${\displaystyle M_{1}=(1,1,2)}$. Ils appartiennent donc bien à ${\displaystyle S}$ et d'après la question précédente, l'équation du plan tangent à ${\displaystyle S}$ :
   • en ${\displaystyle M_{0}}$ est ${\displaystyle (1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(0-1)(z-0)=0}$, qui se simplifie en ${\displaystyle z=0}$ ;
   • en ${\displaystyle M_{1}}$ est ${\displaystyle (1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(2-1)(z-2)=0}$, qui se simplifie en ${\displaystyle z=2}$.

   On peut remarquer que ces deux plans sont parallèles, ce qui n'a rien de surprenant puisque ces deux points de la sphère sont diamétralement opposés.

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 1 [002628] pour les questions 1 et 2.

1. Le plan tangent, en un point ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, à la sphère d'équation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=19}$, a pour vecteur normal ${\displaystyle 2(x_{0},y_{0},z_{0})}$ donc pour équation
   • cartésienne : ${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=19}$,
     soit, si ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,3)}$ : ${\displaystyle x+3y+3z=19}$ ;
   • paramétrique : par exemple, ${\displaystyle x=x_{0}+sz_{0},\;y=y_{0}+tz_{0},\;z=z_{0}-sx_{0}-ty_{0}}$,
     soit, si ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,3)}$ : ${\displaystyle x=1+3s,\;y=3+3t,\;z=3-s-3t}$.
2. Le plan tangent, en un point ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, à la surface d'équation ${\displaystyle z=\sin(\pi xy)\exp(2x^{2}y-1)}$, est dirigé par les deux vecteurs ${\displaystyle \left(1,0,(y_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+4x_{0}y_{0})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)\right)}$ et ${\displaystyle \left(0,1,(x_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+2x_{0}^{2})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)\right)}$ donc a pour équation
   • cartésienne : ${\displaystyle z=z_{0}+\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)[(x-x_{0})(y_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+4x_{0}y_{0})+(y-y_{0})(x_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+2x_{0}^{2})]}$,
     soit, si ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1/2,1)}$ : ${\displaystyle z=2(x+y-1)}$ ;
   • paramétrique : par exemple, ${\displaystyle x=x_{0}+s,\;y=y_{0}+t,\;z=z_{0}+s(y_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+4x_{0}y_{0})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)+t(x_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+2x_{0}^{2})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)}$,
     soit, si ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1/2,1)}$ : ${\displaystyle x=1+s,\;y=1/2+t,\;z=1+2s+2t}$.
3. Le plan tangent, en un point ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, à la surface d'équation ${\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}}$, est dirigé par les deux vecteurs ${\displaystyle \left(1,0,-2x_{0}\right)}$ et ${\displaystyle \left(0,1,-2y_{0}\right)}$ donc a pour équation
   • cartésienne : ${\displaystyle 2x_{0}x+2y_{0}y+z=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+8}$,
     soit, si ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,3)}$ : ${\displaystyle 2x+4y+z=13}$ ;
   • paramétrique : par exemple, ${\displaystyle x=x_{0}+s,\;y=y_{0}+t,\;z=z_{0}-2x_{0}s-2y_{0}t}$,
     soit, si ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,3)}$ : ${\displaystyle x=1+s,\;y=2+t,\;z=3-2s-4t}$.

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 3 [002630]

Le plan tangent au paraboloïde en un point ${\displaystyle (x,y,z)}$ (avec ${\displaystyle z=4x^{2}+y^{2}}$) a pour vecteur normal ${\displaystyle (8x,2y,-1)}$. Ce vecteur est colinéaire :

1. au vecteur ${\displaystyle (1,2,1)}$ si et seulement si ${\displaystyle x={\frac {1}{8}}}$ et ${\displaystyle y=-1}$ (donc ${\displaystyle z={\frac {17}{16}}}$) ;
2. au vecteur ${\displaystyle (3,5,-2)}$ si et seulement si ${\displaystyle x={\frac {3}{16}}}$ et ${\displaystyle y={\frac {5}{4}}}$ (donc ${\displaystyle z={\frac {109}{64}}}$).

${\displaystyle S}$ a pour équation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left(1+z^{2}\right)^{2}}$ donc pour vecteur normal, en un point ${\displaystyle \left(x,y,z\right)\in S}$ : ${\displaystyle \left(x,y,-2z\left(1+z^{2}\right)\right)}$. Ce vecteur est horizontal si et seulement si ${\displaystyle z=0}$.

1. ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)(x,y)=(3x^{2}-2x,3y^{2}-2y)}$ et ${\displaystyle \mathrm {D} f_{(x,y)}(h,k)=(3x^{2}-2x)h+(3y^{2}-2y)k}$.
2. La tangente en un point ${\displaystyle (a,b)}$ est orthogonale au vecteur ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)(a,b)}$ donc elle a pour équation (si ce vecteur est non nul) : ${\displaystyle (x-a)(3a^{2}-2a)+(y-b)(3b^{2}-2b)=0}$, ce qui s'écrit :
   • si ${\displaystyle (a,b)=(1,1)}$ : ${\displaystyle x+y=2}$ ;
   • si ${\displaystyle (a,b)=(0,1)}$ : ${\displaystyle y=1}$ ;
   • si ${\displaystyle (a,b)=(1,0)}$ : ${\displaystyle x=1}$.

1. Ce plan ${\displaystyle P}$ a pour équation ${\displaystyle z=x}$, et le point courant ${\displaystyle M(x,y)=(x,y,x+y^{2})\in S}$ est au-dessus du point ${\displaystyle (x,y,x)\in P}$ situé sur la même verticale que ${\displaystyle M(x,y)}$.
2. Ce plan ${\displaystyle Q}$ a pour équation ${\displaystyle z-2=x-1+2(y-1)}$, soit ${\displaystyle z=x+2y-1}$, et le point courant ${\displaystyle M(x,y)=(x,y,x+y^{2})\in S}$ est au-dessus du point ${\displaystyle (x,y,x+2y-1)\in Q}$ situé sur la même verticale que ${\displaystyle M(x,y)}$, car ${\displaystyle y^{2}-2y+1=(y-1)\geq 0}$.