${\displaystyle \forall (n,x)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {R} ,~e^{i(nx)}=(e^{ix})^{n}\Leftrightarrow \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}}$

La factorisation d'une expression trigonométrique consiste à changer l'écriture d'une combinaison linéaire d'expressions de l’ensemble ${\displaystyle \{x\mapsto \cos(ax),x\mapsto \sin(bx)/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}}$ en combinaison linéaire d'expressions de la forme ${\displaystyle \{\cos(x)^{a},\sin(x)^{b}/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}}$.

${\displaystyle \forall (n,x)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {R} ,~\cos {nx}=\Re ((\cos x+i\sin x)^{n}),~\sin {nx}=\Im ((\cos x+i\sin x)^{n})}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$, factoriser l’expression ${\displaystyle \cos(2x)}$.

• Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2x)&=\Re (e^{2ix})=\Re ((e^{ix})^{2})\\&=\Re ((\cos(x)+i\sin(x))^{2})\\&=\Re (\cos ^{2}(x)+2i\cos(x)\sin(x)-\sin ^{2}(x))\\\end{aligned}}}$

On retrouve bien une expression déjà connue : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,~\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)}$ : on a factorisé l'expression.

Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. On a, grâce à la formule d'Euler :
${\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$ et ${\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$.
Cela implique que pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ :
${\displaystyle \cos ^{n}(x)=\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{n}}$ et ${\displaystyle \sin ^{n}(x)=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{n}}$.

La linéarisation d'une expression trigonométrique consiste à changer l'écriture d'une combinaison linéaire d'expressions de l’ensemble ${\displaystyle \{\cos(x)^{a},\sin(x)^{b}/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}}$ en combinaison linéaire d'expressions de la forme ${\displaystyle \{x\mapsto \cos(ax),x\mapsto \sin(bx)/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}}$.

C'est ainsi l'opération inverse de la factorisation.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$, linéariser l’expression ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$.

• Soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}(x)&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\\&=-{\frac {1}{4}}(e^{2ix}-2+e^{-2ix})\\&=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}}+{\frac {1}{2}}\\&=-{\frac {\cos(2x)}{2}}+{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

On retrouve bien l’expression déjà connue : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}}$ : on a linéarisé l'expression.