Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Factorisations, linéarisations

Pour le cours correspondant à ces exercices, voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie.

Linéarisation

Linéariser $\sin ^{3}x$ .

Solution

Revoir le cours indiqué ci-dessus.

Calcul de primitive

Trouver une primitive de la fonction $f:x\mapsto \sin ^{2}x\cos ^{4}x$ définie sur $\mathbb {R}$ .

Pour démarrer

La première erreur à ne pas faire est de dire que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales. Ceci est totalement faux.
La présence d'exposants élevés sur les fonctions trigonométriques empêche tout espoir de parvenir à ses fins par une salve d'intégrations par parties.
L’idée est alors de linéariser l’expression pour transformer des produits en sommes de termes simples
Il est ensuite facile d'intégrer chacun des termes et de sommer.

Solution

$\sin ^{2}x\cos ^{4}x=\left({\frac {\sin 2x}{2}}\right)^{2}{\frac {1+\cos 2x}{2}}={\frac {\sin ^{2}y\left(1+\cos y\right)}{8}}={\frac {\sin ^{2}y}{8}}+{\frac {\sin ^{2}y\cos y}{8}}$ avec $y=2x$ .

Or $\sin ^{2}y={\frac {1-\cos 2y}{2}}$ et (cf. cours indiqué ci-dessus) $\sin ^{2}y\cos y={\frac {\cos y-\cos 3y}{4}}$ .

Donc $\sin ^{2}x\cos ^{4}x={\frac {1-\cos 4x}{16}}+{\frac {\cos 2x-\cos 6x}{32}}$ et

${\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos ^{4}x~\mathrm {d} x&=\int \left({\frac {1-\cos 4x}{16}}+{\frac {\cos 2x-\cos 6x}{32}}\right)~\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {x}{16}}-{\frac {\sin 4x}{64}}+{\frac {\sin 2x}{64}}-{\frac {\sin 6x}{192}}\right].\end{aligned}}$

Calculs explicites de sommes

Somme 1

Soit $(n,x)\in \mathbb {N} \times \mathbb {R}$ .

Exprimer $\sum _{p=0}^{n}\cos(px)$ sans symbole de sommation.

Solution

Cette somme est égale à $n+1$ si $x\in 2\pi \mathbb {Z}$ et à $\cos \left({\frac {nx}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {(n+1)x}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}$ sinon : cf. Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-4.

Somme 2

Soit $(n,x)\in \mathbb {N} \times \mathbb {R}$ .

Exprimer $\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)$ sans symbole de sommation.

Solution

1° étape : On linéarise l’expression à sommer :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall p\in \mathbb {N} ,~\cos ^{2}(px)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$

2° étape : On remplace :

$\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)=\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}\cos(2x)$

3° étape : On réutilise la question précédnte pour conclure :

Finalement :

Si $x\not \in \pi \mathbb {Z} ,~\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)={\frac {n+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(nx){\frac {\sin((n+1)x)}{\sin(x)}}$
Si $x\in \pi \mathbb {Z} ,~\sum _{p=0}^{n}\cos ^{2}(px)=n+1$

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.