Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

Exercice 7-1

Identifier l'ensemble décrit par l'image du complexe $z$ tel que :

a) $\left|\arg z\right|={\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ ;

b) $\left|z-2\mathrm {i} \right|=2$ ;

c) $\left|{\frac {z-1}{z+1}}\right|=2$ .

Solution

a) Union de la demi-droite $y=x>0$ et de la demi-droite $-y=x>0$ .

b) Cercle de centre $(0,2)$ et de rayon $2$ .

c) Cercle de centre

\left(-{\frac {5}{3}},0\right)

et de rayon

{\frac {4}{3}}

car

(x-1)^{2}+y^{2}=4((x+1)^{2}+y^{2})\Leftrightarrow \left(x+{\frac {5}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {16}{9}}

.

Exercice 7-2

1° Quel est l'ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant $|z-1|=|{\bar {z}}+1|$ ?

Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en associant à tout point

M

du plan euclidien son affixe

z

.

2° Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ . Déterminez l’ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant $\left(z-1\right)^{n}=\left({\bar {z}}+1\right)^{n}$ .

Solution

$|z-1|^{2}=|{\bar {z}}+1|^{2}\Leftrightarrow \left(z-1\right)\left({\bar {z}}-1\right)=\left({\bar {z}}+1\right)\left(z+1\right)\Leftrightarrow z+{\bar {z}}=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R}$ , qui correspond à la médiatrice des points $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe $-1$ ( $|z-1|=MA$ et $|{\bar {z}}+1|=|z+1|=MB$ ).
$\left(z-1\right)^{n}=\left({\bar {z}}+1\right)^{n}\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R} {\text{ et }}\left(z-1\right)^{n}=(-1)^{n}\left(z-1\right)^{n}$ donc l'ensemble des solutions est $\mathrm {i} \mathbb {R}$ si $n$ est pair, et $\varnothing$ si $n$ est impair.

Exercice 7-3

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ , soient :

$M$ d'affixe $z=a+b\mathrm {i} \quad \left(a,b\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ ;
$M'$ le symétrique de $M$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ ;
$M''$ le symétrique de $M'$ par rapport à la droite d'équation $x=0$ .

1° En fonction de $a$ et $b$ , calculez $z'$ et $z''$ , affixes respectives de $M'$ et $M''$ , puis le rapport ${\frac {z''}{z}}$ .

2° En déduire une mesure de l'angle $\left({\widehat {{\overrightarrow {OM}},\,{\overrightarrow {OM''}}}}\right)$ et la valeur du rapport ${\frac {OM''}{OM}}$ .

3° Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats ?

Solution

$z'=b+a\mathrm {i}$ et $z''=-b+a\mathrm {i} =z\mathrm {i}$ .
Par conséquent, $\left({\widehat {{\overrightarrow {OM}},\,{\overrightarrow {OM''}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$ et $OM''=OM$ .
La composée des deux symétries axiales est bien une rotation, de centre l'intersection des axes et d'angle le double de l'angle entre ces axes.

Exercice 7-4

Soit $z=\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi ,\qquad \varphi$ réel.

1° Rappelez quel est l'ensemble décrit par l'image de $z$ quand $\varphi$ décrit $\left[0,2\pi \right[$ .

2° Calculez le module de ${\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}$ , pour $x$ réel.

Démontrez que si

z

est différent de

-1

, il peut s'écrire

{\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}

.

Calculez

x

en fonction de

\varphi

.

3° En fonction de $\varphi$ , calculez le module et un argument de $z+1$ .

4° Déterminez l'ensemble décrit par l'image de $z+1$ quand $\varphi$ décrit $\left[0,2\pi \right[$ .

Solution

L'image de $z$ décrit le cercle unité.
Soit $\theta =\arctan x$ . Le complexe ${\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} \tan \theta }{1-\mathrm {i} \tan \theta }}=\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }$ est de module $1$ .
Si $z\neq -1$ alors $\theta :={\frac {\varphi }{2}}\not \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}$ donc $x:=\tan \theta =\tan {\frac {\varphi }{2}}$ est bien défini, et $z={\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}$ .
$z+1=1+\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi =2\cos {\frac {\varphi }{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi /2}$ (de module $2\left|\cos {\frac {\varphi }{2}}\right|$ et d'argument ${\frac {\varphi }{2}}$ ou ${\frac {\varphi }{2}}+\pi$ , selon le signe de $\cos {\frac {\varphi }{2}}$ ).
D'après la question 1, l'image de $z+1$ décrit le cercle de rayon $1$ dont le centre a pour affixe $1$ .

Exercice 7-5

Soient, dans le plan complexe :

$B$ et $C$ d'affixes respectives $b$ et $c$ ;
$B'$ l'image de $B$ par la rotation de centre $O$ , d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ ;
$C'$ l’image de $C$ par la rotation de centre $O$ , d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ .

1° En fonction de $b$ et $c$ , exprimez les affixes de $B'$ et $C'$ .

2° Déterminez l'affixe du milieu $M$ de $\left[B',C'\right]$ .

3° Déterminez l'affixe du point $K$ tel que ${\overrightarrow {OK}}={\overrightarrow {BC}}$ .

4° Démontrez que $(OM)$ , médiane du triangle $\left(O,B',C'\right)$ , est une hauteur de $\left(O,B,C\right)$ , et que $2OM=BC$ .

Solution

$b'=-\mathrm {i} b$ et $c'=\mathrm {i} c$ .
${\frac {b'+c'}{2}}=\mathrm {i} {\frac {c-b}{2}}$ .
$k=c-b$ .
L'affixe de $2{\overrightarrow {OM}}$ est $\mathrm {i} \left(c-b\right)$ .

Exercice 7-6

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormal $(0;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ , on considère :

le point $M$ d'affixe $z=x+\mathrm {i} y$ , $x$ et $y$ réels ;
le point $M'$ d'affixe $z'=x+4\mathrm {i} y$ ;
le point $A$ d'affixe $-7$ ;
le point $B$ d'affixe $5$ .

1° Quelles conditions doit vérifier $z$ pour que l'on ait $M\neq A$ et $M'\neq B$ ?

Dans les questions suivantes, ces conditions sont supposées remplies.

2° Montrez que $(AM)$ est parallèle à $(BM')$ si, et seulement si, ${\frac {z+7}{z'-5}}\in \mathbb {R} ^{*}$ .

En déduire l'ensemble

D

des points

M

tels que les droites

(AM)

et

(BM')

soient parallèles.

3° Déterminez, de la même manière, l'ensemble $E$ des points $M$ tels que les droites $(AM)$ et $(BM')$ soient perpendiculaires.

Solution

$z\neq -7{\text{ et }}z'\neq 5\Leftrightarrow z\notin \{-7,5\}$ .
${\overrightarrow {AM}}$ est colinéaire à ${\overrightarrow {BM'}}$ si et seulement si ${\begin{vmatrix}x+7&x-5\\y&4y\end{vmatrix}}=0$ , c'est-à-dire $3y\left(x+11\right)=0$ .
$D$ est donc l'union des deux droites d'équations $x=-11$ et $y=0$ .
De même, $(AM)\perp (BM')\Leftrightarrow {\frac {z+7}{\mathrm {i} \left(z'-5\right)}}\in \mathbb {R} ^{*}\Leftrightarrow 0={\begin{vmatrix}x+7&-4y\\y&x-5\end{vmatrix}}=x^{2}+2x-35+4y^{2}=\left(x+1\right)^{2}+4y^{2}-36$ .
$E$ est donc l'ellipse d'équation ${\frac {\left(x+1\right)^{2}}{6^{2}}}+{\frac {y^{2}}{3^{2}}}=1$ , de sommets $\left(5,0\right)$ , $\left(-7,0\right)$ , $\left(-1,3\right)$ et $\left(-1,-3\right)$ .

Exercice 7-7

Soit ${\mathcal {P}}$ un plan orienté muni d'un repère orthonormal direct $(O;\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})$ . À tout point $M$ de ${\mathcal {P}}$ on associe son affixe complexe $m$ .

Soient $1$ , $\mathrm {j}$ et $\mathrm {j} ^{2}$ les racines cubiques de l'unité, où $\mathrm {j} =\cos {\frac {2\pi }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {2\pi }{3}}$ .

On se propose d'étudier la propriété (E) suivante, relative à un triplet $(A,\,B,\,C)$ de points de ${\mathcal {P}}$ :

(E) : Les affixes $a,\,b,\,c$ des points $A,\,B,\,C$ satisfont :

a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}=0

.

1° Soit $T_{\vec {v}}$ une translation de vecteur ${\vec {v}}$ définie dans ${\mathcal {P}}$ .

Montrez que si le triplet

(A,\,B,\,C)

a la propriété (E), il en est de même de

\left(T_{\vec {v}}(A),\,T_{\vec {v}}(B),\,T_{\vec {v}}(C)\right)

.

2° Soit un triangle équilatéral dont les sommets $A,\,B,\,C$ sont disposés de sorte qu'une mesure de l'angle $\left({\widehat {{\overrightarrow {AB}},\,{\overrightarrow {AC}}}}\right)$ soit ${\frac {\pi }{3}}$ .

Montrez que

(A,\,B,\,C)

a la propriété (E).

3° Caractérisez géométriquement la propriété (E).

Solution

1° Soit $v$ l'affixe de ${\vec {v}}$ . $\left(a+v\right)+\left(b+v\right)\mathrm {j} +\left(c+v\right)\mathrm {j} ^{2}=a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}+v\left(1+\mathrm {j} +\mathrm {j} ^{2}\right)=a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}$ .

2° et 3° Voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la géométrie#Triangle équilatéral.

Exercice 7-8

Déterminez l'ensemble des points du plan euclidien dont l'affixe $z$ vérifie :

\left|\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2\mathrm {i} \right|=2

.

Solution

$\left|\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2\mathrm {i} \right|=\left|1+\mathrm {i} \right|\left|{\bar {z}}-{\frac {2\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}\right|={\sqrt {2}}\left|{\bar {z}}-\left(1+\mathrm {i} \right)\right|={\sqrt {2}}\left|z-\left(1-\mathrm {i} \right)\right|$ est égal à $2$ si et seulement si le point d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon ${\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}$ dont le centre a pour coordonnées $\left(1,-1\right)$ .

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