Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la géométrie

Nous avons vu que, dans le plan complexe, chaque point a une affixe qui est un nombre complexe. L’idée que l’on va analyser et développer dans ce chapitre est la suivante : peut-on remplacer des raisonnements géométriques par des calculs algébriques sur les nombres complexes ? Nous verrons que bien des propriétés dans des figures peuvent se remplacer par une relation entre les affixes des points constituant la figure. Il est alors possible, par un simple calcul, de montrer qu'un triangle est rectangle ou équilatéral.

Conjugué d'un nombre complexe

Soit m un nombre complexe. Soit M le point du plan complexe qui a pour affixe m. Soit M' le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses. On appellera conjugué de m, l'affixe du point M'.

Le conjugué du nombre complexe m sera noté en mettant une barre sur m.

${\text{conjugué}}(m)={\overline {m}}=\mathrm {affixe} (M')$ .

Le point M ayant pour coordonnées (a, b), son symétrique M' aura pour coordonnées (a, -b).

Par conséquent, en passant aux affixes, nous voyons que si l'écriture algébrique de l'affixe du point M est a + ib, alors l'écriture algébrique de l'affixe de M' sera a - ib.

Écriture algébrique du conjugué d'un nombre complexe

Nous avons :

${\overline {a+\mathrm {i} b}}=a-\mathrm {i} b$ .

Nous en déduisons immédiatement :

Conjugué d'un réel et d'un imaginaire pur

Le conjugué d'un nombre réel est lui-même.

Le conjugué d'un nombre imaginaire pur est son opposé.

De ce qui précède, nous déduisons aussi :

Conjugué d'une somme ou d'un produit de nombres complexes

Soient r et s deux nombres complexes, alors :

${\overline {r+s}}={\overline {r}}+{\overline {s}}$ ;
${\overline {r\times s}}={\overline {r}}\times {\overline {s}}$ .

Nous voyons aussi que la distance du point M' à l'origine est la même que celle du point M à l'origine ; par conséquent, le module du conjugué de m est le même que le module de m.

En ce qui concerne l'angle formé par la demi-droite [OM') avec l'axe des abscisses positives, nous voyons que cet angle est l'opposé de l'angle que forme [OM) avec l'axe des abscisses positives.

Par conséquent, en passant aux affixes, nous pouvons dire que l'argument de l'affixe du conjugué de m est l'opposé de l'argument de m.

Écriture exponentielle du conjugué d'un nombre complexe de module 1

Soit θ un nombre réel positif.

Nous avons :

${\overline {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }$ .

Relation entre module et conjugué

Soit z un nombre complexe.

Nous avons :

$|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$ .

Démonstration

Soit z = a + ib l'écriture algébrique du nombre z. On a :

${\sqrt {z{\overline {z}}}}={\sqrt {(a+\mathrm {i} b)(a-\mathrm {i} b)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|$ .

Affixe d'un vecteur

Soient A et B deux points du plan complexe. Nous savons en analyse vectorielle que les coordonnées du vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ sont égales aux coordonnées de l'extrémité auxquelles on soustrait les coordonnées de l'origine. Or les coordonnées d'un point dans le plan complexe sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe du point. On peut donc envisager de définir aussi l'affixe d'un vecteur en disant que c’est l'affixe de l'extrémité moins l'affixe de l'origine.

Affixe d'un vecteur

On appelle affixe d'un vecteur, le nombre complexe obtenu en faisant l'opération « affixe de l'extrémité moins affixe de l'origine ».

Autrement dit : si a est l'affixe d'un point A et b l'affixe d'un point B, alors :

$\mathrm {affixe} ({\overrightarrow {AB}})=\mathrm {affixe} (B)-\mathrm {affixe} (A)=b-a$ .

Les propriétés suivantes justifient, a posteriori, la définition de l'affixe d'un vecteur.

Propriété

Le module d'un vecteur est égal au module de son affixe.

L'angle que fait le vecteur avec l'axe des abscisses positives est égal à l'argument de son affixe.

Angle orienté entre deux vecteurs

Nous abordons ici un point important de ce chapitre. Soient quatre points A, B, C, D du plan complexe. Nous avons alors la propriété fondamentale suivante :

Détermination de l'angle orienté entre deux vecteurs

Soient A, B, C, D quatre points du plan complexe et a, b, c, d leurs affixes respectives.

${\widehat {{\overrightarrow {AB}}\,,{\overrightarrow {CD}}}}=\arg \left({\frac {d-c}{b-a}}\right)$ .

Triangle rectangle

Relation entre affixes des sommets d'un triangle rectangle

Soient A, B, C trois points du plan complexe et a, b, c leurs affixes respectives.

Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si :

${\frac {c-a}{b-a}}$

est un imaginaire pur.

Démonstration

${\widehat {{\overrightarrow {AB}}\,,{\overrightarrow {AC}}}}=\arg \left({\frac {c-a}{b-a}}\right)$

donc le triangle est rectangle en A si et seulement si $\arg \left({\frac {c-a}{b-a}}\right)=\pm {\frac {\pi }{2}}$ , c'est-à-dire si ${\frac {c-a}{b-a}}$ est imaginaire pur.

Triangle isocèle

Relation entre affixes des sommets d'un triangle isocèle

Soient A, B, C trois points du plan complexe et a, b, c leurs affixes respectives.

Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si :

a{\overline {b}}+b{\overline {a}}+c{\overline {c}}=a{\overline {c}}+c{\overline {a}}+b{\overline {b}}

.

Démonstration

Le triangle est isocèle en A si et seulement si les côtés AB et AC ont même mesure, ce qui s'écrit :

{\sqrt {(b-a)({\overline {b}}-{\overline {a}})}}={\sqrt {(c-a)({\overline {c}}-{\overline {a}})}}

soit :

(b-a)({\overline {b}}-{\overline {a}})=(c-a)({\overline {c}}-{\overline {a}})

ou encore, en développant et simplifiant :

a{\overline {b}}+b{\overline {a}}+c{\overline {c}}=a{\overline {c}}+c{\overline {a}}+b{\overline {b}}

.

Triangle équilatéral

Relation entre affixes des sommets d'un triangle équilatéral

Soient A, B, C trois points du plan complexe et a, b, c leurs affixes respectives.

Soit j le nombre complexe défini par :

$\mathrm {j} =\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}$ .

Le triangle ABC est :

équilatéral direct si et seulement si $a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}=0$ ;
équilatéral indirect si et seulement si $a+b\mathrm {j} ^{2}+c\mathrm {j} =0$ ;
équilatéral si et seulement si $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ .

Démonstration

ABC est équilatéral direct si et seulement si

${\widehat {{\overrightarrow {BC}}\,,{\overrightarrow {CA}}}}={\frac {2\pi }{3}}$ et $CA=CB$ , ce qui se traduit sur les affixes par :

${\frac {a-c}{c-b}}=\mathrm {j}$ ,

qui s'écrit :

$a+b\mathrm {j} +c(-1-\mathrm {j} )=0$ .

Comme $1+\mathrm {j} +\mathrm {j} ^{2}=0$ , la condition équivaut bien à :

$a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}=0$ .

ABC est équilatéral indirect si et seulement si ACB est équilatéral direct, c'est-à-dire, d'après ce qui précède, si $a+c\mathrm {j} +b\mathrm {j} ^{2}=0$ .

ABC est donc équilatéral si et seulement si $\left(a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}\right)\left(a+b\mathrm {j} ^{2}+c\mathrm {j} \right)=0$ , ce qui, en développant, équivaut bien à $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ .

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