Résoudre ${\displaystyle 3z+12-5i=0}$
On écrit:
${\displaystyle 3z=-12+5i}$
${\displaystyle z=-4+{\frac {5}{3}}i}$

Résoudre ${\displaystyle 3z+2i{\bar {z}}=5i-1}$.

On pose ${\displaystyle z=x+iy}$ et ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ :

${\displaystyle 3(x+iy)+2i(x-iy)=5i-1}$,

ce qui nous donne :

${\displaystyle 3x+2y+i(3y+2x)=5i-1}$.

D'après la définition, les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales.

Il faut bien comprendre que le premier nombre complexe est ${\displaystyle 3x+2y+i(3y+2x)}$ et que le second est ${\displaystyle 5i-1}$.

On obtient donc deux équations ${\displaystyle z={\begin{cases}L1:3x+2y=-1,&{\text{la partie réelle}}\\L2:3y+2x=5,&{\text{la partie imaginaire}}\end{cases}}}$

On résout comme tout système d'équations, on veut faire en sorte de ne plus avoir de y dans l'équation.

On a ${\displaystyle 3L_{1}-2L_{2}=9x+6y-6y-4x=-3-10}$,

d'où ${\displaystyle x={\frac {-13}{5}}}$ et l'on remplace ${\displaystyle x}$ par sa valeur et l'on obtient ${\displaystyle y={\frac {17}{5}}}$.

La solution est donc ${\displaystyle z={\frac {-13}{5}}+{\frac {17}{5}}i}$.

Résoudre dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$: ${\displaystyle {z}^{2}=5}$ et ${\displaystyle {z}^{2}=-8}$
${\displaystyle {z}^{2}=5}$ d'où ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}}$. Les deux solutions sont réelles.
${\displaystyle {z}^{2}=-8=(-1)\times 8={i}^{2}\times 8}$
d'où ${\displaystyle z=\pm i{\sqrt {8}}=\pm 2i{\sqrt {2}}}$. Les deux solutions sont imaginaires pures.

Résoudre dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$: ${\displaystyle 3{z}^{2}-2z+1=0}$. Il suffit de calculer le
discriminant ${\displaystyle \Delta }$ de l'équation.
${\displaystyle \Delta ={(-2)}^{2}-4\times 3\times 1=4-12=-8={i}^{2}\times 8={(2i{\sqrt {2}})}^{2}}$. L'équation admet deux
solutions.
${\displaystyle z={\frac {-(-2)\pm 2i{\sqrt {2}}}{6}}={\frac {1\pm i{\sqrt {2}}}{3}}}$

Trouver une solution imaginaire pure de ${\displaystyle {z}^{2}-(1+3i)z-2+2i=0}$.
On a donc ${\displaystyle z=x+iy}$ avec ${\displaystyle x=0}$ et ${\displaystyle y}$ un réel. On remplace ${\displaystyle z=iy}$ dans l'équation.
Soit ${\displaystyle {(iy)}^{2}-(1+3i)\times iy-2+2i=0}$
On a ${\displaystyle -{y}^{2}-iy+3y-2+2i=0}$ d'où ${\displaystyle -{y}^{2}+3y-2+i(-y+2)=0}$
On obtient donc le système. ${\displaystyle {\begin{cases}L1:-{y}^{2}+3y-2=0,&{\mbox{la partie r}}\mathrm {\acute {e}} {\mbox{elle}}\\L2:-y+2=0,&{\mbox{la partie imaginaire}}\end{cases}}}$
Or ce nombre complexe est nul, ce qui signifie que les parties réelles et imaginaires sont
nulles.
On résout la seconde équation et on remplace dans la première.
${\displaystyle {\begin{cases}L1:-{y}^{2}+3y-2=0,-{2}^{2}+3\times 2-2=0\\L2:-y+2=0,y=2\end{cases}}}$.
${\displaystyle y=2}$ est solution donc l'équation admet le nombre imaginaire pur ${\displaystyle z=2i}$ comme solution.
Ensuite, nous pouvons résoudre complètement l'équation et trouver la seconde solution
(c'est une équation du second degré, elle admet donc deux solutions).
Il suffit de mettre ${\displaystyle z-2i}$ en facteur (en utilisant la même technique que pour les
équations réelles).
On a: ${\displaystyle P(z)=(z-2i)\times Q(z)}$, où ${\displaystyle Q(z)}$ s'écrit de la forme ${\displaystyle (az+b),(a,b)\in {\mathbb {C} }^{2}}$.
Par identification, on a ${\displaystyle P(z)=a{z}^{2}+z(b-2ai)-2bi}$,
d'où ${\displaystyle {\begin{cases}L1:a=1\\L2:b-2ai=-1-3i,b=-1-i\\L3:-2bi=2i-2,-2i(-1-i)=2i-2,{\mbox{cette }}\mathrm {\acute {e}} {\mbox{quation est vraie}}\end{cases}}}$.
D'où, ${\displaystyle Q(z)=z-1-i}$, donc ${\displaystyle P(z)=(z-2i)(z-(1+i))}$
Finalement les deux solutions sont ${\displaystyle z_{1}=2i}$ et ${\displaystyle z_{2}=1+i}$.