Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation

Dans ce chapitre, nous décrivons le plan d'étude général pour les suites récurrentes d'ordre un. Nous montrons également comment donner une représentation de cette étude, qui aide parfois à comprendre le problème étudié.

Plan d'étude

Étude de ƒ

La première grande étape consiste à étudier la fonction qui définit la récurrence, c'est-à-dire l’application ƒ telle que :

\forall n\in \mathbb {N} \qquad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)

.

On s'attachera alors à étudier les points suivants :

Caractère affine de ƒ : il convient tout d’abord de vérifier si ƒ est affine (auquel cas, on utilisera les outils adaptés aux suites arithmético-géométriques) ou non (auquel cas, on utilisera les outils de cette leçon). On peut par exemple repérer le domaine de définition de ƒ : si elle n'est pas définie sur R tout entier, la fonction ne peut pas être affine.
Intervalles stables : on peut établir la liste des intervalles stables par ƒ maximaux. Puisqu'un point initialement dans un de ces intervalles y restera, nous pouvons étudier ce cas indépendamment de ce que fait ƒ en dehors.
Variations : vérifier — sur chacun des intervalles stables — la continuité (souvent), la dérivabilité (assez souvent), la monotonie (moins souvent) de ƒ fournit des informations pertinentes à son sujet. On peut, de plus, vérifier si ƒ (qu'on sait continue) est k-lipschitzienne, avec k < 1 (ƒ est alors contractante). On étudiera par ailleurs les variations de ƒ(x) - x.

Étude des intervalles stables

Nous considérons maintenant chacun des intervalles stables trouvés lors de l'étape précédente. On note I l'intervalle stable que nous étudions.

Si ƒ est contractante sur I

Si de plus l'intervalle I est fermé et borné, le théorème suivant s'applique :

Théorème du point fixe

Soit I = [a, b] un intervalle stable par ƒ. On suppose ƒ une application contractante sur I.

Alors :

ƒ admet un unique point fixe dans I, noté $\ell$ ;
si u₀ est dans I, alors la suite (u_n) converge, et sa limite est $\ell$ ;
la convergence de la suite est rapide (géométrique) : si ƒ est k-lipschitzienne,
$\left|u_{n}-\ell \right|=O\left(k^{n}\right)$ .

Démonstration

On définit sur I l’application : $g:x\mapsto f\left(x\right)-x$ , à valeurs réelles. Puisque ƒ est contractante, ƒ est continue, donc g est continue.

Existence de $\ell$

Puisque par hypothèse I est stable par ƒ, on a :

g\left(a\right)=f\left(a\right)-a\geq 0

g\left(b\right)=f\left(b\right)-b\leq 0

Alors, g étant continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe (au moins) un réel $\ell$ tel que :

g\left(\ell \right)=0

c'est-à-dire tel que $\ell$ soit un point fixe de ƒ.

Convergence de (u_n)

On a, pour tout entier n :

\left|u_{n+1}-\ell \right|=\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(\ell \right)\right|\leq k\left|u_{n}-\ell \right|

.

On en déduit (par récurrence) :

\forall n\in \mathbb {N} \qquad \left|u_{n}-l\right|\leq k^{n}\left|u_{0}-\ell \right|

.

Puisque k < 1, cela montre que la suite converge. De plus, on a :

\forall n\in \mathbb {N} \qquad \left|u_{n}-l\right|=\mathrm {O} \left(k^{n}\right)

.

Unicité de $\ell$

D'après ce qui précède, tout point fixe de $f$ est limite de $(u_{n})$ . Par unicité de la limite, le point fixe est donc unique.

Si la fonction ƒ(x) – x est de signe constant sur I

On a alors, si u_n est dans I :

Premier cas : ƒ(x) – x est positive ou nulle, alors la suite est croissante :
$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\geq u_{n}$ .
Second cas : ƒ(x) – x est négative ou nulle, alors la suite est décroissante :
$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\leq u_{n}$ .

Trois cas se présentent alors si I est fermé :

ou bien ƒ n'admet pas de point fixe dans I, donc diverge ;
ou bien ƒ admet un point fixe sur I mais n'y converge pas, à cause de la monotonie ;
ou bien ƒ admet un point fixe sur I, et y converge.

Si la fonction ƒ est monotone sur I

On dispose dans ce cas d'un autre outil — qu'il ne faut surtout pas confondre avec le précédent — pour étudier la monotonie de la suite :

si ƒ est croissante, alors la suite est monotone mais pas nécessairement croissante ; on peut cependant préciser facilement : elle est
- croissante (comme dans le premier schéma ci-dessous) dès que u₁ ≥ u₀,
- décroissante (comme dans le deuxième schéma ci-dessous) dès que u₁ ≤ u₀ ;
si ƒ est décroissante, alors la suite est n'est pas monotone mais les deux sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs le sont, puisqu'elles sont définies chacune par une récurrence associée à la fonction $f\circ f$ , qui est croissante.

Autres intervalles

Le cas des autres intervalle se ramène souvent, à partir d'un certain terme, à celui d'un point dans un intervalle stable.

Exemple

Étudier la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ définie par son premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence :

\forall n\in \mathbb {N} \qquad u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}

.

Solution

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto x-x^{2}$ (continue).

Signe de $f(x)-x$ et points fixes de $f$
$f(x)-x=-x^{2}\leq 0$ donc la suite est décroissante (strictement, sauf si elle s'annule en un certain rang, auquel cas elle est constante à partir de ce rang) et le seul point fixe de $f$ est 0.
Découpage en intervalles (à partir du point fixe)
- L'intervalle I := ]-∞, 0[ est stable (car $f(x)\leq x$ ).
- L'intervalle ]0, +∞[, lui, n'est pas stable : on n'a $0<f(x)=x(1-x)$ que si $0<x<1$ . Mais ce sous-intervalle J := ]0, 1[ est stable (car si $0<x<1$ , on a non seulement $f(x)<0$ mais aussi $f(x)>1$ ).
- $f(1)=0$ .
- L'intervalle restant, ]1, +∞[, n'est pas stable mais son image est I (car si $x>1$ alors $f(x)<0$ ).

En excluant les deux cas triviaux u₀ = 0 (suite constante) et u₀ = 1 (suite constante à partir de l'indice 1), on a donc :

Premier cas : u₀ est dans J
La suite est décroissante et minorée (par 0), donc converge, et ce ne peut être que vers le point fixe de ƒ.

Par conséquent, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$ .
Second cas : u₀ est dans I
La suite étant strictement négative et décroissante, elle ne peut pas tendre vers 0.

Par conséquent, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=-\infty$ .
Troisième cas : u₀ > 1
Alors, $u_{1}=f(u_{0})\in I$ . Ainsi, à partir du premier rang, l'étude se ramène à celle du second cas.

Par conséquent, à nouveau, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=-\infty$ .

Représentation

Il est possible de donner une représentation graphique de l'étude d'une suite récurrente d'ordre 1 :

on trace la courbe C d'équation y = ƒ(x) ;
on trace la droite D d'équation y = x.

Alors, les points d'intersection de C et D correspondent aux points fixes de ƒ — si la suite doit converger, c’est vers l'un de ces points.

On place sur l’axe des abscisses le premier élément u₀.
On trace le segment qui part de ce point et atteint verticalement la courbe C ; on a alors atteint le point (u₀, ƒ(u₀)) c'est-à-dire (u₀, u₁).
On trace le segment qui part de ce point et atteint horizontalement la droite D ; on a alors atteint le point (u₁, u₁).
On recommence à l'étape 2.

Il peut alors se présenter différents cas :

Cas d'une suite convergente

Si par exemple la suite est croissante et converge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

Cas d'une suite qui tend vers l'infini

Si par exemple la suite est décroissante et diverge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

Cas d'une suite sans limite (finie ou infinie)

Un cas parmi bien d'autres (et dans lequel apparaît un cycle limite) est représenté sur l'image suivante :

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