${\displaystyle u_{n+1}=f(u_{n})}$ avec ${\displaystyle f(x):=x\operatorname {e} ^{x}}$ du même signe que ${\displaystyle x}$ donc la suite est de signe constant (le signe de ${\displaystyle a}$).

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad f(x)-x=x\left(\operatorname {e} ^{x}-1\right)>0}$ et ${\displaystyle f(0)=0}$ donc :

• si ${\displaystyle a=0}$, la suite est constamment nulle ;
• si ${\displaystyle a\neq 0}$, la suite est croissante ; donc, ou bien elle tend vers ${\displaystyle +\infty }$, ou bien elle converge, et dans ce second cas (comme ${\displaystyle f}$ est continue) sa limite est nécessairement ${\displaystyle 0}$ (l'unique point fixe de ${\displaystyle f}$). Plus précisément :
  • si ${\displaystyle a<0}$, puisque la suite est majorée (par ${\displaystyle 0}$), elle converge,
  • si ${\displaystyle a>0}$, puisque la suite est ${\displaystyle >0}$, elle ne peut que tendre vers ${\displaystyle +\infty }$.

En choisissant ${\displaystyle a=-b}$, on trouve ${\displaystyle v_{n}=-u_{n}}$. Par conséquent :

• si ${\displaystyle b=0}$, la suite est constamment nulle ;
• si ${\displaystyle b\neq 0}$, la suite est décroissante ;
  • si ${\displaystyle b>0}$, ${\displaystyle v_{n}\to 0}$,
  • si ${\displaystyle b<0}$, ${\displaystyle v_{n}\to -\infty }$.

${\displaystyle u_{n+1}-u_{n}=\varphi (u_{n})}$ avec ${\displaystyle \varphi (x)=x^{3}-x-{\frac {\arctan x}{100}}}$ (continue).

Pour ${\displaystyle x\geq 1{,}01}$, ${\displaystyle \varphi (x)\geq x^{3}-x-{\frac {x}{100}}>0}$ car ${\displaystyle x^{2}>x\geq 1+{\frac {1}{100}}}$.

Par conséquent, la suite ${\displaystyle \left(u_{n}\right)}$ est strictement croissante et n'a pas de limite finie. Donc ${\displaystyle \lim u_{n}=+\infty }$.

1. Soit ${\displaystyle f:\left[-b,+\infty \right[\to \mathbb {R} _{+}\subset \left[-b,+\infty \right[,\;x\mapsto {\sqrt {b+x}}}$. Son seul point fixe (nécessairement positif) est ${\displaystyle \ell$ :={\frac {1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}} .

${\displaystyle x\mapsto f(x)-x}$ est continue et ne s'annule qu'en ${\displaystyle \ell }$, et elle est positive en ${\displaystyle -b}$ et négative en ${\displaystyle +\infty }$. Elle est donc positive pour ${\displaystyle -b\leq x<\ell }$ et négative pour ${\displaystyle x>\ell }$.

Puisque ${\displaystyle f}$ est strictement croissante et que ${\displaystyle f(\ell )=\ell }$, les deux intervalles ${\displaystyle \left[-b,\ell \right[}$ et ${\displaystyle \left]\ell ,+\infty \right[}$ sont stables par ${\displaystyle f}$.

La suite est par conséquent :

• constante si ${\displaystyle a=\ell }$ ;
• strictement croissante et majorée (par ${\displaystyle \ell }$) si ${\displaystyle a<\ell }$ ;
• strictement décroissante et minorée (par ${\displaystyle \ell }$) si ${\displaystyle a>\ell }$.

Elle est donc convergente dans tous les cas.

La fonction ${\displaystyle f}$ étant continue, la limite de ${\displaystyle (u_{n})}$ ne peut être qu'un point fixe de ${\displaystyle f}$. Par conséquent, ${\displaystyle u_{n}\to \ell }$.

2. Si ${\displaystyle v_{n+1}={\sqrt {r+sv_{n}}}}$ (ce qui suppose implicitement que ${\displaystyle v_{n}\geq -{\frac {r}{s}}}$) alors, en posant

${\displaystyle u_{n}:={\frac {v_{n}}{s}}}$ et ${\displaystyle b:={\frac {r}{s^{2}}}}$,

on a

${\displaystyle u_{0}\geq -b}$ et ${\displaystyle u_{n+1}={\sqrt {b+u_{n}}}}$.

On déduit donc de ce qui précède que ${\displaystyle v_{n}\to s{\frac {1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}={\frac {s+{\sqrt {s^{2}+4r}}}{2}}}$.

3. Considérons la fonction ${\displaystyle f:\left[b-b^{2},b\right]\to \left[0,b\right]\subset \left[b-b^{2},b\right],\;x\mapsto {\sqrt {b-x}}}$.

Soient ${\displaystyle x\in \left[0,b\right]}$ et ${\displaystyle y=f(x)}$. Alors, pour ${\displaystyle t:=b^{-1/2}y\in \left[0,1\right]}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=b-y^{2}+y\\&=(1-t^{2})b+t{\sqrt {b}}\\&\geq {\sqrt {b}}\left(1-t^{2}+t\right)\\&={\sqrt {b}}\left[1+t(1-t)\right]\\&\geq {\sqrt {b}}.\end{aligned}}}$

En appliquant cela, pour ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, à ${\displaystyle x=u_{n}}$ et ${\displaystyle y=u_{n+1}}$, on en déduit :

${\displaystyle \left|u_{n+1}-u_{n}\right|={\frac {\left|u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right|}{u_{n+1}+u_{n}}}={\frac {\left|(b-u_{n})-(b-u_{n-1})\right|}{u_{n+1}+u_{n}}}={\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{u_{n+1}+u_{n}}}\leq {\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{\sqrt {b}}}}$,

ce qui, puisque ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {b}}}<1}$, prouve que la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ converge.

La fonction ${\displaystyle f}$ étant continue, la limite ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle (u_{n})}$ ne peut être qu'un point fixe de ${\displaystyle f}$ (appartenant donc à ${\displaystyle \left[0,b\right]}$). Par conséquent, ${\displaystyle \ell ={\frac {-1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}}$.

4. Si ${\displaystyle v_{n+1}={\sqrt {r-sv_{n}}}}$ (ce qui suppose implicitement que ${\displaystyle v_{n}\leq {\frac {r}{s}}}$, en particulier ${\displaystyle v_{0}\leq {\frac {r}{s}}}$ et ${\displaystyle {\sqrt {r-sv_{0}}}\leq {\frac {r}{s}}}$, donc ${\displaystyle {\frac {r}{s}}-{\frac {r^{2}}{s^{3}}}\leq v_{0}\leq {\frac {r}{s}}}$) alors, en posant

${\displaystyle u_{n}:={\frac {v_{n}}{s}}}$ et ${\displaystyle b:={\frac {r}{s^{2}}}}$,

on a

${\displaystyle b>1}$, ${\displaystyle b-b^{2}\leq u_{0}\leq b}$ et ${\displaystyle u_{n+1}={\sqrt {b-u_{n}}}}$.

On déduit donc de ce qui précède que ${\displaystyle v_{n}\to s{\frac {-1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}={\frac {-s+{\sqrt {s^{2}+4r}}}{2}}}$.

1. Par translation de la variable, ${\displaystyle f}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, de même que la fonction racine p-ième.
2. ${\displaystyle \varphi '(x)=1-px^{p-1}}$ s'annule en ${\displaystyle x_{+}:={\frac {1}{\sqrt[{p-1}]{p}}}}$ et en ${\displaystyle x_{-}:=-x_{+}}$, d'où le tableau :
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&x_{-}&&x_{+}&&+\infty \\\hline \varphi '(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline &+\infty &&&&y_{+}&&\\\varphi (x)&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&&&y_{-}&&&&-\infty \\\hline \end{array}}}$
   ${\displaystyle y_{+}>y_{-}=\varphi \left(x_{-}\right)=b-{\frac {p-1}{p^{\frac {p}{p-1}}}}>0}$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, ${\displaystyle \varphi }$ (qui est bien continue) s'annule exactement une fois, en un point ${\displaystyle \ell >x_{+}}$.
   Par croissance (stricte) de ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$, ${\displaystyle f(x)-x}$ est du même signe que ${\displaystyle f(x)^{p}-x^{p}=\varphi (x)}$ :
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&\ell &&+\infty \\\hline f(x)-x&&+&0&-&\\\hline \end{array}}}$
3. Si ${\displaystyle x<\ell }$ alors ${\displaystyle f(x)<f(\ell )=\ell }$ et si ${\displaystyle x>\ell }$ alors ${\displaystyle f(x)>f(\ell )=\ell }$.
4. Si ${\displaystyle a=\ell }$, la suite est constante. Si ${\displaystyle a<\ell }$ alors, d'après la question précédente, la suite est majorée par ${\displaystyle \ell }$ donc d'après la question 2, la suite est croissante (strictement). Par conséquent, elle converge. Par continuité de ${\displaystyle f}$, la limite de la suite est un point fixe de ${\displaystyle f}$. Donc ${\displaystyle u_{n}\to \ell }$. De même, si ${\displaystyle a>\ell }$, la suite est minorée et décroissante et converge vers ${\displaystyle \ell }$.

C'est le cas particulier ${\displaystyle p=3}$ de l'exercice précédent.

Le seul changement par rapport au cas précédent est qu'à présent, ${\displaystyle y_{-}<0<y_{+}}$ donc ${\displaystyle f}$ a trois points fixes ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}}$, tels que ${\displaystyle \ell _{1}<-{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{2}<{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{3}}$ (et ${\displaystyle \ell _{2}<0}$ puisque ${\displaystyle h(0)=b>0}$).

Les quatre intervalles délimités par ces trois valeurs étant, comme précédemment, stables par ${\displaystyle f}$, on en déduit :

• si ${\displaystyle a<\ell _{1}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement croissante et tend vers ${\displaystyle \ell _{1}}$ ;
• si ${\displaystyle \ell _{1}<a<\ell _{2}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement décroissante et tend vers ${\displaystyle \ell _{1}}$ ;
• si ${\displaystyle \ell _{2}<a<\ell _{3}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement croissante et tend vers ${\displaystyle \ell _{3}}$ ;
• si ${\displaystyle a>\ell _{3}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement décroissante et tend vers ${\displaystyle \ell _{3}}$.

(Si ${\displaystyle a}$ est égal à l'un des trois points fixes, ${\displaystyle (u_{n})}$ est évidemment constante.)

Allure du graphe de ${\displaystyle \varphi }$.

À présent, ${\displaystyle y_{-}=0<y_{+}}$ donc les trois points fixes ${\displaystyle \ell _{1}<-{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{2}<{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{3}}$ dégénèrent en deux : ${\displaystyle \ell _{1}=\ell _{2}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ et ${\displaystyle \ell _{3}={\frac {2}{\sqrt {3}}}}$, et la conclusion devient :

• si ${\displaystyle a<-{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement croissante et tend vers ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ;
• si ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}<a<{\frac {2}{\sqrt {3}}}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement croissante et tend vers ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$ ;
• si ${\displaystyle a>{\frac {2}{\sqrt {3}}}}$, ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement décroissante et tend vers ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$.

Posons ${\displaystyle u_{n}:={\frac {v_{n}}{\sqrt {s}}}}$, ${\displaystyle a:=u_{0}}$ et ${\displaystyle b:={\frac {r}{s{\sqrt {s}}}}}$. Alors, ${\displaystyle u_{n+1}={\sqrt[{3}]{b+u_{n}}}}$ donc d'après ce qui précède, ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers une racine ${\displaystyle \ell }$ de l'équation ${\displaystyle x^{3}-x-b=0}$ (lorsque cette équation a plusieurs racines réelles, ${\displaystyle \ell }$ est la plus petite ou la plus grande, selon la position de ${\displaystyle a}$), et ${\displaystyle v_{n}\to \ell {\sqrt {s}}}$, racine de ${\displaystyle x^{3}-sx-r=0}$.

1. Considérons la fonction ${\displaystyle f:\left[b-b^{3},b\right]\to \left[0,b\right]\subset \left[b-b^{3},b\right],\;x\mapsto {\sqrt[{3}]{b-x}}}$.

Soient ${\displaystyle x\in \left[0,b\right]}$ et ${\displaystyle y=f(x)}$. Alors, pour ${\displaystyle t:=b^{-1/3}y\in \left[0,1\right]}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+xy+y^{2}&=(b-y^{3})^{2}+(b-y^{3})y+y^{2}\\&=b^{2}(1-t^{3})^{2}+b^{4/3}(1-t^{3})t+b^{2/3}t^{2}\\&\geq b^{2/3}\left[(1-t^{3})^{2}+(1-t^{3})t+t^{2}\right]\\&=b^{2/3}\left[1+t+t^{2}-2t^{3}-t^{4}+t^{6}\right]\\&=b^{2/3}\left[1+t(1-t)+t^{2}(1-t)^{2}+t^{2}(1-t^{2})^{2}\right]\\&\geq b^{2/3}.\end{aligned}}}$

En appliquant cela, pour ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, à ${\displaystyle x=u_{n}}$ et ${\displaystyle y=u_{n+1}}$, on en déduit :

${\displaystyle \left|u_{n+1}-u_{n}\right|={\frac {\left|u_{n+1}^{3}-u_{n}^{3}\right|}{u_{n+1}^{2}+u_{n+1}u_{n}+u_{n}^{2}}}={\frac {\left|(b-u_{n})-(b-u_{n-1})\right|}{u_{n+1}^{2}+u_{n+1}u_{n}+u_{n}^{2}}}={\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{u_{n+1}^{2}+u_{n+1}u_{n}+u_{n}^{2}}}\leq b^{-2/3}\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}$,

ce qui, puisque ${\displaystyle b^{-2/3}<1}$, prouve que la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ converge.

La fonction ${\displaystyle f}$ étant continue, la limite ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle (u_{n})}$ ne peut être que le point fixe de ${\displaystyle f}$, c.-à-d. la racine réelle de l'équation du troisième degré ${\displaystyle x^{3}+x-b=0}$.

2. En posant ${\displaystyle u_{n}={\frac {v_{n}}{\sqrt {s}}}}$ et ${\displaystyle b={\frac {r}{s{\sqrt {s}}}}}$, on obtient :

${\displaystyle b>1}$, ${\displaystyle b-b^{3}\leq u_{0}\leq b}$ et ${\displaystyle u_{n+1}={\sqrt[{3}]{b-u_{n}}}}$.

On déduit donc de ce qui précède que ${\displaystyle v_{n}\to \ell {\sqrt {s}}}$, la racine réelle de ${\displaystyle x^{3}+sx-r=0}$.

1. L'intervalle ${\displaystyle \left]0,\pi \right[}$ est stable par la fonction sinus, donc ${\displaystyle u_{n}\in \left]0,\pi \right[}$. De plus, on a ${\displaystyle \sin x<x}$ sur cet intervalle, donc ${\displaystyle (u_{n})}$ est strictement décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel ${\displaystyle \ell \in \left[0,\pi \right[}$. Par continuité de ${\displaystyle \sin }$, on a ${\displaystyle \sin \ell =\ell }$ donc ${\displaystyle \ell =0}$.
2. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {x+\sin x}{x^{2}\sin ^{2}x}}(x-\sin x)\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,{\frac {2x}{x^{4}}}{\frac {x^{3}}{6}}={\frac {1}{3}}}$ donc ${\displaystyle {\frac {1}{u_{n+1}^{2}}}-{\frac {1}{u_{n}^{2}}}\to {\frac {1}{3}}}$.

Pour aller plus loin, voir Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Exercice 4-3.

1. ${\displaystyle f'(x)=-{\frac {x}{2}}}$ donc ${\displaystyle f}$ est continue et décroissante sur ${\displaystyle I}$ donc ${\displaystyle f(I)=[f(1),f(0)]=\left[0,{\frac {1}{4}}\right]\subset I}$.
2. ${\displaystyle u_{0}\in I}$ stable par ${\displaystyle f}$ donc par récurrence, ${\displaystyle u_{n}\in I}$.
3. ${\displaystyle f(x)=x\Leftrightarrow x^{2}+4x-1=0\Leftrightarrow x=-2\pm {\sqrt {5}}}$. Le seul point fixe dans ${\displaystyle I}$ est ${\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}$.
4. On peut invoquer le théorème des accroissements finis ou plus simplement calculer : pour tout ${\displaystyle x\in I}$,
   ${\displaystyle |f(x)-\ell |={\frac {|1-x^{2}-4\ell |}{4}}={\frac {|\ell ^{2}-x^{2}|}{4}}={\frac {|x-\ell |(x+\ell )}{4}}\leq {\frac {|x-\ell |}{2}}}$.
5. Par récurrence, ${\displaystyle |u_{n}-\ell |\leq {\frac {|u_{0}-\ell |}{2^{n}}}}$ donc ${\displaystyle u_{n}\to \ell }$.

1. ${\displaystyle f(x)=x\Leftrightarrow 2x=x+{\frac {5}{x}}\Leftrightarrow x=\ell$ :={\sqrt {5}}} .
2. Une rapide étude de variations le prouve.
3. Même calcul qu'en question 1, en remplaçant les égalités par des inégalités.
4. On en déduit qu'à partir de l'indice 1, la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ est à valeurs dans ${\displaystyle \left[\ell ,+\infty \right[}$ et décroissante, donc convergente. La seule limite possible est ${\displaystyle \ell }$.
5. On peut invoquer le théorème des accroissements finis ou plus simplement calculer : pour tout ${\displaystyle x\geq \ell }$, ${\displaystyle f(x)-\ell ={\frac {(x-\ell )^{2}}{2x}}\leq {\frac {x-\ell }{2}}}$.
6. Immédiat par récurrence (ce qui redémontre que ${\displaystyle u_{n}\to \ell }$).

L'application ${\displaystyle f:x\mapsto \ln(x+2)}$ est bien définie sur l'intervalle ${\displaystyle I:=\left]-1,+\infty \right[}$ et ${\displaystyle f(I)=\left]0,+\infty \right[\subset I}$ donc la suite est bien définie.

En tout point ${\displaystyle x\in I}$, la dérivée de la fonction ${\displaystyle x\mapsto f(x)-x}$ est ${\displaystyle {\frac {1}{x+2}}-1<0}$ donc quand ${\displaystyle x}$ croît de ${\displaystyle -1}$ à ${\displaystyle +\infty }$, ${\displaystyle f(x)-x}$ décroît (continûment) de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle -\infty }$, en passant la valeur ${\displaystyle 0}$ en un certain ${\displaystyle x_{0}}$.

Comme ${\displaystyle f}$ est croissante, elle laisse stables les deux sous-intervalles ${\displaystyle \left]-1,x_{0}\right[}$ et ${\displaystyle \left]x_{0},+\infty \right[}$.

Par conséquent :

• si ${\displaystyle \alpha <x_{0}}$, la suite est ${\displaystyle <x_{0}}$ et croissante (puisque ${\displaystyle f(x)-x>0}$ sur ${\displaystyle \left]-1,x_{0}\right[}$) donc convergente, et la limite ne peut être que ${\displaystyle x_{0}}$ (l'unique point fixe de ${\displaystyle f}$) ;
• de même, si ${\displaystyle \alpha >x_{0}}$, la suite est ${\displaystyle >x_{0}}$ et décroissante et converge vers ${\displaystyle x_{0}}$ ;
• si ${\displaystyle \alpha =x_{0}}$, la suite est constante