Nous avons défini au premier chapitre, pour toute partie A d'un ensemble E, la fonction indicatrice de A (ou « application caractéristique de A ») :
- .
La bijection
Grimpons à l'étage supérieur : l'ensemble E restant fixe, faisons maintenant varier A dans l'ensemble des parties de .
Pour toute application , une partie de vérifie si et seulement si , c'est-à-dire si et seulement si . Donc a un unique antécédent par : l'image réciproque par du singleton .
Deux parties de E sont égales si et seulement si leurs fonctions indicatrices sont égales.
Traduction arithmétique des opérations ensemblistes
On peut combiner des fonctions à valeurs entières en utilisant les opérations arithmétiques usuelles. Le résultat est une fonction à valeurs entières. Mais si les fonctions de départ ne prennent que les valeurs 0 ou 1 alors, certaines combinaisons arithmétiques produisent une fonction qui, elle aussi, ne prend que ces deux valeurs. En particulier :
Pour toutes parties A et B de E :
- ;
- ;
- (en particulier, si alors ) ;
- ;
- .
Les deux premières lignes sont immédiates et les trois suivantes s'en déduisent.
Transformation des formules entières en formules modulo 2
Identifions l’ensemble {0, 1} à l'ensemble des deux classes de congruence modulo 2 (0 = Pair, 1 = Impair) et munissons cet ensemble de l'addition et de la multiplication correspondantes. Sur {0, 1}, la multiplication modulo 2 est la même que la multiplication usuelle, mais l'addition modulo 2 correspond au OU exlusif, ou XOR, noté ici :
| 0 | 1 | |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Avec ces nouvelles opérations, par construction, n'importe quelle combinaison de fonctions à valeurs dans {0, 1} sera automatiquement à valeurs dans {0, 1}. Les formules précédentes deviennent :
Pour toutes parties A et B de E, on a :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
