Taux de variation

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie au voisinage d'un réel ${\displaystyle a}$.

Le taux de variation ${\displaystyle t(h)}$ de ${\displaystyle f}$ entre ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle a+h}$ (avec ${\displaystyle h\neq 0}$, suffisamment petit pour que ${\displaystyle f}$ soit définie en ${\displaystyle a+h}$) est :

${\displaystyle t(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$.

Condition de dérivabilité d’une fonction en un point

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un intervalle ${\displaystyle I}$ et soit ${\displaystyle a}$ un nombre de ${\displaystyle I}$. On dit que la fonction ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle a}$ si son taux de variation entre ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle a+h}$ admet une limite finie quand ${\displaystyle h}$ tend vers ${\displaystyle 0}$, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel ${\displaystyle m}$ tel que :

${\displaystyle \lim _{h\to 0,h\neq 0}t(h)=m}$

ou, ce qui est équivalent, tel que :

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+h\times m+h\times \varepsilon (h)}$ pour tout réel ${\displaystyle h}$ tel que ${\displaystyle a+h\in I}$,

où ${\displaystyle \varepsilon :I\to \mathbb {R} }$ est une fonction telle que ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0}$.

L'équivalence entre ces deux conditions sera démontrée dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Nombre dérivé

Le nombre réel ${\displaystyle m}$ est appelé nombre dérivé de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$. Ce nombre dérivé est noté ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$.

En résumé : si ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle a}$ alors le nombre dérivé en ${\displaystyle a}$ est égal à la limite du taux de variation en ${\displaystyle a}$ :

Continuité et dérivabilité

Théorème

Si ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle a}$ alors ${\displaystyle f}$ est continue en ${\displaystyle a}$.

Attention ! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction ${\displaystyle x\mapsto \left|x\right|}$ est continue sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mais elle n’est pas dérivable en ${\displaystyle 0}$. Il existe même des fonctions continues sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ qui ne sont dérivables en aucun point ! On ne peut pas toujours « faire un dessin ».

Tangente à la courbe d’une fonction en un point (équation cartésienne)

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction dérivable en ${\displaystyle a}$ et soit ${\displaystyle C}$ sa représentation graphique. La tangente à la courbe ${\displaystyle C}$ au point ${\displaystyle (a,f(a))}$ a pour équation :

${\displaystyle y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)}$.

Pour plus de détails, voir le chapitre « Équation d'une tangente » de la leçon « Fonction dérivée ».