Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre

Définition

Notations et définitions

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre normalisée sur $I$ toute équation de la forme

(E):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)

où $I$ est un intervalle de $\mathbb {R}$ et $a,b,c$ appartiennent à C⁰(I, K).

Exemple

$y''-xy=0$ , normalisée sur $\mathbb {R}$

$xy''-y=0$ , normalisable sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ ou $\mathbb {R} _{-}^{*}$ .

Théorème fondamental : existence et unicité

Théorème d'existence et d'unicité

Si t₀ ∈ I et (x₀, x₁) ∈ K², l’équation

(E) :

x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)

où $a,b,c$ ∈ C⁰ (I,K) possède une unique solution, définie sur $I$ , vérifiant la condition initiale :

$x(t_{0})=x_{0}$ ;
$x'(t_{0})=x_{1}$ .

Ce théorème est démontré dans Calcul différentiel/Équations différentielles#Équations différentielles linéaires.

Équation homogène, résolution

Définition

On appelle équation homogène associée à l'équation différentielle (E) normalisée sur I l'équation

(E_{0}):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0

.

Dimension de l'espace des solutions

Théorème

Le K-espace vectoriel des solutions de $(E_{0})$ est de dimension 2.

Démonstration

Soit $S_{0}$ cet espace vectoriel. Fixons $t_{0}\in I$ . L'application

S_{0}\to \mathbb {R} ^{2},\;x\mapsto \left(x(t_{0}),x'(t_{0})\right)

est clairement linéaire, et elle est bijective d'après le théorème d'existence et d'unicité.

Par conséquent, c'est un isomorphisme donc $\dim \left(S_{0}\right)=2$ .

Ainsi, on peut déterminer l’ensemble des solutions de $(E_{0})$ en connaissant 2 solutions particulières $u$ et $v$ linéairement indépendantes.

Toute solution $x$ de $(E_{0})$ s'écrit alors : $x=\lambda u+\mu v$ .

Le wronskien

Définition

On appelle wronskien de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ l’application :

t\mapsto W(t):={\begin{vmatrix}u(t)&v(t)\\u'(t)&v'(t)\end{vmatrix}}=u(t)v'(t)-u'(t)v(t)

.

Propriété

Si $u$ et $v$ sont deux solutions de $(E_{0})$ , alors les propositions suivantes sont équivalentes :

$u$ et $v$ sont linéairement indépendantes ;
$\forall t\in I\quad W(t)\neq 0$ ;
$\exists t\in I\quad W(t)\neq 0$ .

Démonstration

$2\Rightarrow 3\Rightarrow 1$ est immédiat, et $1\Rightarrow 2$ résulte de l'isomorphisme mis en évidence au paragraphe précédent, pour $t_{0}=t\in I$ arbitraire (ici, seule l'injectivité de cette application est utilisée, c'est-à-dire la partie « unicité » du théorème d'existence et d'unicité).

Voir les exercices sur : Théorèmes de Sturm : étude qualitative.

Remarque

On peut aussi démontrer $3\Rightarrow 2$ directement, en remarquant que $W'+aW=0$ .

Détails

$W'=\left(uv'-u'v\right)'={\cancel {u'v'}}+uv''-u''v{\cancel {-u'v'}}=u\left(-av'{\cancel {-bv}}\right)-\left(-au'{\cancel {-bu}}\right)v=-aW$ donc $W(t)=C\mathrm {e} ^{\lambda (t)}$ , où $\lambda$ est une primitive de $-a$ . Si $W(t_{0})=0$ alors $C=0$ donc $W=0$ .

Résolution par changement de fonction, si l'on connait une solution particulière

Soit $u$ une solution particulière de $(E_{0})$ , ne s'annulant pas sur I. Pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :

v=zu

, avec z la seconde fonction à trouver, de classe C².

On a alors :

v'=z'u+zu'

et

v''=z''u+2z'u'+zu''

.

En reportant dans $(E_{0})$ , on obtient : $z''u+(2u'+au)z'+(u''+au'+bu)z=0$

et comme $u$ est solution de $(E_{0})$ , le terme en z s'annule, et il reste à déterminer z solution de

z''+(2u'+au)z'=0

,

qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z' normalisée sur I. On déduit ainsi z en intégrant z'.

Équation complète, résolution

Théorème

L'ensemble des solutions d’une équation différentielle du second ordre normalisée sur I forme un espace affine $S=S_{0}+y_{0}$ , de dimension 2 avec $S_{0}$ l’ensemble des solutions de l'équation homogène, et $y_{0}$ une solution particulière de (E).

Démonstration

L'application $\Delta :x\mapsto x''+ax'+bx$ est linéaire, car $(E)$ est une équation différentielle linéaire. L'équation différentielle devient alors : $\Delta [x]=c$ .

Soit y₀ une solution particulière de $(E)$ , on a alors $\Delta [y_{0}]=c$ .

Soit $\Delta [x]-\Delta [y_{0}]=\Delta [x-y_{0}]$ , car $\Delta$ est linéaire.

On a donc : $x\in S\Leftrightarrow x-y_{0}\in \ker(\Delta )=S_{0}$ . De plus dim S = dim S₀ = 2.

À présent, on connait deux solutions particulières $u$ et $v$ de $(E_{0})$ , linéairement indépendantes.

On sait que toute solution de $(E_{0})$ se met sous la forme $x=\lambda u+\mu v$ .

On applique alors la méthode de variation des deux constantes pour trouver une solution particulière de $(E)$ .

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