Vecteur d'onde

En physique, un vecteur d'onde (ou « vecteur de phase » notamment en électronique) est un vecteur utilisé pour décrire une onde : son module est le nombre d'onde ou le nombre d'onde angulaire de l'onde (qui est inversement proportionnel à la longueur d'onde), sa direction est généralement la direction de propagation de l'onde (mais pas toujours, voir ci-dessous). Pour une onde monochromatique, ce vecteur est perpendiculaire au front d'onde.

Pour la lumière, et en relativité restreinte et générale, la fréquence est associée au vecteur d'onde, ce qui donne le quadrivecteur d'onde.

Utilisation

Le vecteur d'onde est très utile pour généraliser l'équation d'une onde à la description d'une famille d'ondes. Si toutes les ondes d'une famille se propagent dans la même direction et possèdent la même longueur d'onde, elles peuvent toutes être décrites par le même vecteur d'onde. Le cas le plus courant d'une famille d'ondes respectant ces conditions est celle d'une onde plane, pour laquelle la famille d'ondes est également cohérente (toutes les ondes possèdent la même phase).

Définitions

λ, la longueur d'onde d'une onde sinusoïdale, est la distance physique entre deux points de la courbe qui possèdent la même phase, par exemple deux pics, deux creux ou deux passages à zéro avec la même pente.

Il existe deux définitions du vecteur d'onde, dont la différence est un facteur 2π dans son module. L'une d'elles est préférée en physique et ses différents domaines, l'autre en cristallographie[1]. Dans la suite de cet article, ces deux définitions seront appelées « définition physique » et « définition cristallographique ».

Définition physique

Une onde progressive parfaite unidimensionnelle suit l'équation suivante :

\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )

où :

x est la position ;
t est le temps ;
$\psi$ (une fonction de x et de t) est la perturbation décrivant l'onde (par exemple pour une vague, $\psi$ représenterait la hauteur supplémentaire d'eau, ou pour une onde sonore, $\psi$ serait la surpression de l'air) ;
A est l'amplitude de l'onde (l'amplitude maximale de l'oscillation) ;
$\varphi$ est le déphasage de l'onde, décrivant la désynchronisation possible entre deux ondes ;
$\omega$ est la fréquence angulaire ou pulsation de l'onde, c'est-à-dire le nombre d'oscillations que l'onde complète par unité de temps ; elle est directement liée à la période de l'onde, $T$ , par l'équation $\omega =2\pi /T$ ;
$k$ est le nombre d'onde, ou la fréquence spatiale angulaire de l'onde : cette quantité décrit combien d'oscillations l'onde complète par unité d'espace, et est directement liée à la longueur d'onde par l'équation $k=2\pi /\lambda$ .

Une telle onde progressive se déplace dans la direction des x positifs, avec pour vitesse (plus précisément, pour vitesse de phase) $\omega /k$ .

Dans le cas d'une onde tridimensionnelle, on généralise la formule précédente en remplaçant le nombre d'onde k par le vecteur d'onde k et la variable d'espace x par le vecteur position r, le produit kx précédent étant remplacé par le produit scalaire k·r :

\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t-\phi \right)\,

Définition cristallographique

En cristallographie, cette même onde est décrite par une équation légèrement différente[2]. Pour une onde unidimensionnelle :

\psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )

et pour une onde tridimensionnelle :

\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)

Les différences sont :

$\nu$ , la fréquence, utilisée à la place de la fréquence angulaire, $\omega$ . Ces deux quantités sont liées par l'équation $2\pi \nu =\omega$ .
Le nombre d'onde k et le vecteur d'onde k sont définis de façons différentes. Ici, $k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$ , alors que dans la définition physique, $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ .

La direction de k est discutée ci-dessous.

Direction du vecteur d'onde

La direction dans laquelle pointe un vecteur d'onde doit être différenciée de la direction de propagation de l'onde. Cette dernière est la direction du flux d'énergie de l'onde, et la direction dans laquelle un petit paquet d'onde va bouger, c'est-à-dire la direction de la vitesse de groupe. Pour les ondes électromagnétiques, c'est également la direction du vecteur de Poynting. La direction du vecteur d'onde correspond, elle, à celle de la vitesse de phase, c'est-à-dire qu'il pointe dans la direction normale à la surface d'égale phase de l'onde, c'est-à-dire le front d'onde.

Dans un milieu isotrope sans perte, tel que l'air, n'importe quel gaz, liquide et certains solides (comme le verre), ces deux directions sont identiques : le vecteur d'onde pointe alors exactement dans la même direction que celle de la propagation de l'onde. En revanche, dans un milieu avec pertes, le vecteur d'onde pointe en général dans une direction différente. La condition pour que les deux pointent dans la même direction est que l'onde soit homogène, ce qui n'est pas nécessairement le cas dans un milieu avec pertes. Dans une onde homogène, la surface d'égale phase de l'onde est aussi la surface d'égale amplitude. Pour les ondes inhomogènes, ces deux surfaces ont des orientations différentes, et le vecteur d'onde reste toujours perpendiculaire à la surface d'égale phase.

Quand une onde se propage dans un milieu anisotrope, par exemple quand une onde lumineuse passe dans un cristal asymétrique ou qu'une onde sonore passe à travers une roche sédimentaire, le vecteur d'onde peut ne pas pointer dans la direction exacte de propagation de l'onde[3]^,[4].

Onde plane électromagnétique

La valeur $\psi$ peut aussi bien désigner la valeur complexe de la projection suivant un axe (x par exemple) d'un champ électrique

${\vec {\mathbf {E} }}={\begin{bmatrix}E_{0}\cdot e^{i\phi _{E}}\cdot e^{i\left(\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {r} }}\right)}\\0\\0\\\end{bmatrix}}$

Ou tout aussi bien la valeur complexe de la projection suivant un axe (y par exemple) d'un champ magnétique

${\vec {\mathbf {B} }}={\begin{bmatrix}0\\B_{0}\cdot e^{i\phi _{B}}\cdot e^{i\left(\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {r} }}\right)}\\0\\\end{bmatrix}}$

Dans le cas de l'approximation d'une onde plane ces deux vecteurs et le vecteur d'onde (placé dans ce cas suivant l'axe z) forment un trièdre orthogonal.

${\vec {\mathbf {K} }}={\begin{bmatrix}0\\0\\k_{z}\\\end{bmatrix}}$

De nombreuses démonstrations faites avec les nombres complexes (et des exponentielles) s'avèrent non seulement plus élégantes mais aussi plus simples à comprendre. Le résultat doit cependant être transformé en nombre réel en respectant la convention de signe choisie : i ou -i.

Quadrivecteur d'onde en relativité

En ce qui concerne les ondes électromagnétiques, on peut introduire un quadrivecteur d'onde $K_{4}=\left({\omega \over c};k_{x};k_{y};k_{z}\right)$ et un quadrivecteur position $\ R_{4}=(ct;x;y;z)$ issus de l'espace de Minkowski, et en utilisant la forme bilinéaire de l'espace de Minkowski, on a :

$\psi \left(t,{\vec {\mathbf {r} }}\right)=A_{0}\cdot e^{i\phi }\cdot e^{iK_{4}\cdot R_{4}}$

avec c la vitesse de la lumière.

Notes et références

exemple de définition « physique »Harris, Benenson et Stöcker, Handbook of Physics, 2002, 1186 p. (ISBN 978-0-387-95269-7, lire en ligne), p. 288. et de définition « cristallographique » Vaĭnshteĭn, Modern Crystallography, 1994, 482 p. (ISBN 978-3-540-56558-1, lire en ligne), p. 259
Boris Konstantinovich Vaĭnshteĭn, Modern Crystallography, 1994, 482 p. (ISBN 978-3-540-56558-1, lire en ligne), p. 259
Grant Fowles, Introduction to modern optics, Holt, Rinehart, and Winston, 1968, p. 177
« Cet effet a été expliqué par Musgrave (1959), qui a montré que l'énergie d'une onde inélastique dans une milieu anisotrope ne va, en général, pas se propager par le même chemin que la normale au front d'onde... », Sound waves in solids by Pollard, 1977. link

Voir aussi

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[1] xemple de définition « physique »Harris, Benenson et Stöcker, Handbook of Physics, 2002, 1186 p. (ISBN 978-0-387-95269-7, lire en ligne), p. 288. et de définition « cristallographique » Vaĭnshteĭn, Modern Crystallography, 1994, 482 p. (ISBN 978-3-540-56558-1, lire en ligne), p. 259

[2] Boris Konstantinovich Vaĭnshteĭn, Modern Crystallography, 1994, 482 p. (ISBN 978-3-540-56558-1, lire en ligne), p. 259

[fowles-3] Grant Fowles, Introduction to modern optics, Holt, Rinehart, and Winston, 1968, p. 177

[pollard-4] « Cet effet a été expliqué par Musgrave (1959), qui a montré que l'énergie d'une onde inélastique dans une milieu anisotrope ne va, en général, pas se propager par le même chemin que la normale au front d'onde... », Sound waves in solids by Pollard, 1977. link