Variation totale d'une fonction
En mathématiques, la variation totale est liée à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction.
Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la courbe d'équation x ↦ f(x), pour x ∈ [a, b].
Note historique
L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan[1], afin de démontrer un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas si simple.
Définition
Fonctions d'une variable réelle
La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle est donnée par :
où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions de l'intervalle donné.
Fonctions de plusieurs variables réelles
Soit Ω un sous-ensemble ouvert de ℝn. Pour une fonction f dans L1(Ω), la variation totale de f sur Ω est définie par :
où est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine borné.
Propriétés
Variation totale de fonctions différentiables
La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.
Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivable
La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f' est Riemann-intégrable
Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiable
Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné , la variation totale de f est alors donnée par
où désigne la norme l2.
On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie.
Applications
La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouvent plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le contrôle optimal, l'analyse numérique, ou le calcul variationnel, où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :
- analyse numérique des équations différentielles : trouver des solutions approchées d'une équation différentielle.
- débruitage d'une image: en traitement de l'image, le débruitage consiste à réduire le bruit électronique d'une image reconstruite à partir des données obtenues de façon électronique, par transmission de données ou captation.
Articles connexes
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Total variation » (voir la liste des auteurs).
- (Jordan 1881), selon (Golubov et Vitushkin 2002).
- (it) Cesare Arzelà, « Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (On functions of two variables of bounded variation) », Rendiconto delle sessioni della Reale Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna, vol. IX, no 4, , p. 100–107 (lire en ligne[archive du ]).
- (en) Boris I. Golubov, « Arzelà variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Fréchet variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Hardy variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Pierpont variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Vitali variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Tonelli plane variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov et Anatolii G. Vitushkin, « Variation of a function », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- Camille Jordan, « Sur la série de Fourier », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 92, , p. 228–230 (lire en ligne)
- (de) Hans Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin, Springer Verlag, , VII+600 p. (lire en ligne[archive du ]).
- (it) Giuseppe Vitali, « Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (On groups of points and functions of real variables) », Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, vol. 43, , p. 75–92 (lire en ligne[archive du ]).
- C. Raymond Adams et James A. Clarkson, « On definitions of bounded variation for functions of two variables », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 35, , p. 824–854 (DOI 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2, Math Reviews 1501718, zbMATH 0008.00602, lire en ligne).
- (it) Lamberto Cesari, « Sulle funzioni a variazione limitata (On the functions of bounded variation) », Annali della Scuola Normale Superiore, iI, vol. 5, nos 3-4, , p. 299–313 (Math Reviews 1556778, zbMATH 0014.29605, lire en ligne).
- Stanislaw Saks, « Theory of the Integral », Monographies mathématique, Varsovie-Lwów, G.E. Stechert & Co., Monografie Matematyczne, vol. 7, , p. VI+347 (Math Reviews 1556778, zbMATH 0017.30004, lire en ligne).
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, New York, McGraw-Hill, , 1re éd., xi+412 p. (Math Reviews 210528, zbMATH 0142.01701).
Liens externes
- (en) Function of bounded variation sur Encyclopedia of Mathematics
- (en) Rowland, Todd, « Total Variation », sur MathWorld.
- (en) Eric W. Weisstein, « Jordan decomposition », sur MathWorld.
- Jordan decomposition sur Encyclopedia of Mathematics
Applications
- Vincent Caselles, Antonin Chambolle et Matteo Novaga, « The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions », Multiscale Modeling and Simulation, SIAM, vol. 6, no 3, (lire en ligne) (application de la variation totale en débruitage pour le traitement de l'image).
- Leonid I. Rudin, Stanley Osher et Emad Fatemi, « Nonlinear total variation based noise removal algorithms », Physica D: Nonlinear Phenomena, no 60.1, , p. 259-268 (lire en ligne).
- Peter Blomgren et Tony F. Chan, « Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images », Image Processing, IEEE Transactions, vol. 7, no 3, , p. 304-309 (lire en ligne).
- Tony F. Chan et Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, (ISBN 0-89871-589-X) (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).
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